seguendo la moda corrente...
seguendo la moda corrente...
Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:
Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
- The_Ouroboros
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Re: seguendo la moda corrente...
Immagino che un sia troppo semplicesqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:
Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
$ (xy)^2 = x^2 * y^2 = y^2 * x^2 = (yx)^2 $
Una curiosità... come fa senza elementi ad avere ordine 2?
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Significa che nessun elemento è l'inverso di se stesso (tranne il neutro).
Se non sbaglio però, per dimostrare la tesi è sufficiente vedere che la funzione
$ $f(x) = x^2 $ $ è biunivoca:
$ $ g^2 = h^2; gg = hh ; h^{-1}g=hg^{-1} ; (g^{-1}h)^{-1} = g^{-1}h ; (g^{-1}h)^2 = 1 ; g = h $ $
Se non sbaglio però, per dimostrare la tesi è sufficiente vedere che la funzione
$ $f(x) = x^2 $ $ è biunivoca:
$ $ g^2 = h^2; gg = hh ; h^{-1}g=hg^{-1} ; (g^{-1}h)^{-1} = g^{-1}h ; (g^{-1}h)^2 = 1 ; g = h $ $
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]
Re: seguendo la moda corrente...
(Esco un secondo off topic rispetto l'esercizio)
Scusate l'ignoranza... cosa significa che un gruppo è abeliano?sqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:
Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?albert_K ha scritto:Mi correggo! Questa dimostrazione vale solamente se il gruppo ha ordine finito. Ci ripenso.
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]
Io penso proprio che tu abbia ragione. L'esercizio proposto da sqrt2 è una diretta conseguenza dell'iniettività di tale funzione. Infatti essendo $ f(x)=x^2 $ iniettiva, l'uguaglianza delle immagini di xy e yx sotto la f implica l'uguaglianza di tali elementi, ovvero $ xy=yx $.albert_K ha scritto: Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?
Tra l'altro è interessante osservare che il problema è equivalente all'iniettività di f: supponendo che sia abeliano,
$ ~ a^2 = b^2 \Rightarrow (ab^{-1})^2 = e \Rightarrow ab^{-1} = e \Rightarrow a=b $ (dove in un passaggio ho usato che non ci sono elementi di ordine 2).
Altra osservazioncina: l'immagine di f è contenuta nel centro. Infatti, facendo la sostituzione $ ~ y \rightarrow x^{-1}y $ nell'uguaglianza iniziale otteniamo $ ~ xy^2 = y^2x $.
$ ~ a^2 = b^2 \Rightarrow (ab^{-1})^2 = e \Rightarrow ab^{-1} = e \Rightarrow a=b $ (dove in un passaggio ho usato che non ci sono elementi di ordine 2).
Altra osservazioncina: l'immagine di f è contenuta nel centro. Infatti, facendo la sostituzione $ ~ y \rightarrow x^{-1}y $ nell'uguaglianza iniziale otteniamo $ ~ xy^2 = y^2x $.
Partendo dall'inizio:
$ ~ abab=baba $
buttando dentro $ ~ a = xb^{-1} $ otteniamo:
$ ~ xb^{-1}bxb^{-1}b = bxb^{-1}bxb^{-1} $
$ ~ x^2 = bx^2b^{-1} $
$ ~ bx^2=x^2b $
quindi i quadrati commutano con tutti gli elementi.
Tornando all'inizio:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1} = e $
Ora ci butto dentro due quadrati generici:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1}x^2x^{-2}y^2y^{-2} = e $
L'idea è che li posso mettere dove mi pare e, facendo la sostituzione giusta, invertire qualche elemento:
$ ~ abax^{-2}by^{-2}a^{-1}x^2b^{-1}y^2a^{-1}b^{-1} = e $
Voglio ottenere un quadrato, perchè se fa l'identità, posso semplificarlo! Mettiamo x=a, y=b, e otteniamo:
$ ~ aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1} = e $
... funziona...
$ ~ (aba^{-1}b^{-1})^2 = e $
Attenzione! L'ordine di $ ~ aba^{-1}b^{-1} $ non può essere 2!
$ ~ aba^{-1}b^{-1} = e $
$ ~ ab = ba $
$ ~ abab=baba $
buttando dentro $ ~ a = xb^{-1} $ otteniamo:
$ ~ xb^{-1}bxb^{-1}b = bxb^{-1}bxb^{-1} $
$ ~ x^2 = bx^2b^{-1} $
$ ~ bx^2=x^2b $
quindi i quadrati commutano con tutti gli elementi.
Tornando all'inizio:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1} = e $
Ora ci butto dentro due quadrati generici:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1}x^2x^{-2}y^2y^{-2} = e $
L'idea è che li posso mettere dove mi pare e, facendo la sostituzione giusta, invertire qualche elemento:
$ ~ abax^{-2}by^{-2}a^{-1}x^2b^{-1}y^2a^{-1}b^{-1} = e $
Voglio ottenere un quadrato, perchè se fa l'identità, posso semplificarlo! Mettiamo x=a, y=b, e otteniamo:
$ ~ aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1} = e $
... funziona...
$ ~ (aba^{-1}b^{-1})^2 = e $
Attenzione! L'ordine di $ ~ aba^{-1}b^{-1} $ non può essere 2!
$ ~ aba^{-1}b^{-1} = e $
$ ~ ab = ba $