Sediamoci a tavola

[razorbeard]

In una tavola circolare ci sono 60 posti occupati da 30 uomini e dalle 30 rispettive mogli. Mostrare che esistono almeno due signore che siedono alla stessa distanza dai rispettivi mariti.

[genialien]

Penso i 60 posti come vertici di un poligono regolare e penso alla distanza moglie-marito come il segmento che li collega.(ovviamente la distanza del problema intendeva una distanza in relazione ai posti tra moglie e marito , tipo la moglie che dista 24 posti dal marito, ma questo fatto è corrispondente a pensare come già detto).
Coloro alternatamente i 60 vertici di 2 colori, tipo bianco e nero, così da avere 30 vertici bianchi e 30 neri.
Dato che da ogni pallino parte uno e un solo collegamento, allora se associassi al collegamento le coordinate (b,n) inteso come numero di pallini bianchi e neri che collega,esse saranno (2,0),(1,1) o (0,2). La somma di tutte le coordinate mi darebbe (30,30).
Ma ragionando sui collegamenti, ho che essi dovranno essere tutti diversi (se voglio che ogni marito disti dalla moglie un numero di posti diverso dagli altri). Per cui chiamo ogni collegamento moglie-marito $ c_i (c_1,c_2,...,c_{30}) $ con $ c_1<c_2<...<c_{30} ) $
Infine mi basta vedere che i collegamenti con indice dispari collegano 2 vertici di colore diverso, i collegamenti di indice pari invece 2 colori uguali tra loro.
Se tolgo dal computo delle coordinate tutti i collegamenti di indice dispari (essi avranno valore (1,1) ), allora la somma dei valori di indice pari dovranno dare stesso numero di vertici bianchi e neri. Cosa che non è. Infatti ogni collegamento pari avrà coordinate (2,0) o (0,2),ed essendo in numero pari, la somma delle coordinate sarebbe in squilibrio (avrei più vertici bianchi che non neri, o viceversa). Essendo impossibile, allora per almeno due diversi valori $ i,j $ sarà $ c_i = c_j $