Si determino gli interi positivi $ k $ tali che il polinomio
$ x^5+x^4+x^3+kx^2+x+1 $
sia prodotto di polinomi a coefficienti interi di grado minore di cinque.
SNS 1986-1987 (1)
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exodd
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poniamo che l'equazione abbia almeno una soluzione intera. Allora si scompone in
$ (x+a)(x^4+bx^3+c^2+dx+e)=x^5+(a+b)x^4+(ba+c)x^3+(ac+d)x^2+(ad+e)x+ea $
abbiamo quindi
$ a+b=1, ab+c=1, ac+d=k, ad+e=1, ea=1 $
supponendo e=a=1 abbiamo
$ b=0, c=1, d=0, k=1 $
supponendo e=a=-1 abbiamo
$ b=2, c=3, d=-2, k=5 $
se invece il polinomio non ha soluzioni intere si può scomporre in un polinomio di 3° grado e uno di secondo:
$ (x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5+(a+c)x^4+(d+ac+b)x^3+(e+ad+bc)x^2+(ea+bd)x+eb $
ponendo e=b=1 abbiamo
$ c=d, c(a+1)=0, 1+(a+1)c=k=1 $
ponendo e=b=-1 abbiamo
$ c=2+d, a=\frac{2-d}{2+d}, k=da-c-1=\frac{-2d^2-3d-6}{d+2} $
che non è mai intero
concludendo, k=1 o k=-5
$ (x+a)(x^4+bx^3+c^2+dx+e)=x^5+(a+b)x^4+(ba+c)x^3+(ac+d)x^2+(ad+e)x+ea $
abbiamo quindi
$ a+b=1, ab+c=1, ac+d=k, ad+e=1, ea=1 $
supponendo e=a=1 abbiamo
$ b=0, c=1, d=0, k=1 $
supponendo e=a=-1 abbiamo
$ b=2, c=3, d=-2, k=5 $
se invece il polinomio non ha soluzioni intere si può scomporre in un polinomio di 3° grado e uno di secondo:
$ (x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5+(a+c)x^4+(d+ac+b)x^3+(e+ad+bc)x^2+(ea+bd)x+eb $
ponendo e=b=1 abbiamo
$ c=d, c(a+1)=0, 1+(a+1)c=k=1 $
ponendo e=b=-1 abbiamo
$ c=2+d, a=\frac{2-d}{2+d}, k=da-c-1=\frac{-2d^2-3d-6}{d+2} $
che non è mai intero
concludendo, k=1 o k=-5
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
. Solo una cosa: il primo caso (cioè quello in cui il polinomio ha una radice intera) si può velocizzare notando che le uniche radici intere possono essere solo 1 o -1 