funzionale -own

[jordan]

Determinare tutte le funzioni bigettive $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tali che: $ f^2(x^3)+\frac{1}{4} \le f(2x-1), \forall x \in \mathbb{R} $

[gianmaria]

Sbaglio dicendo che non ne esistono e che la dimostrazione è molto facile?

[jordan]

Ho mai detto che questo esercizio fosse difficile?

[Maioc92]

domanda:potreste postare la soluzione anche se per voi è facile?
Perchè per me non è cosi scontata e mi piacerebbe vederla

[exodd]

per essere una bigettiva, deve essere monotona, cioè strettamente crescente o decrescente... notiamo che l'LHS cresce o decresce molto velocemente..

[giove]

Una funzione bigettiva non deve essere per forza monotona.
Prendi ad esempio
$ f(x) = x $ per $ x\neq \pm 1 $;
$ f(1) = -1 $, $ f(-1) = 1 $.

[jordan]

domanda:potreste postare la soluzione anche se per voi è facile?

Prova a porre uguali gli argomenti delle funzioni..

Edit:la seconda..

[Maioc92]

scusa la domanda idiota ma l'ultimo tuo post mi fa venire 1 dubbio:
$ f^2(x^3) $ significa $ f(f(x^3)) $ o $ (f(x^3))^2 $?

[gianmaria]

Per x=1 si ottiene $ f^2(1)-f(1)+\frac 1 4 \le 0 $, cioè $ [f(1)-\frac 1 2]^2 \le 0 $, che può verificarsi solo se $ f(1)=\frac 12 $. Lo stesso ragionamento, con lo stesso valore finale, si ha tutte le volte che $ x^3=2x-1 $ e poichè questa equazione ha tre soluzioni reali (scomponete dividendo per x-1), f(x) assume lo stesso valore per tre x diverse, in contrasto con l'ipotesi che sia bigettiva.
naturalmente avevo dato per scontato che fosse $ f^2(x)=[f(x)]^2 $; se non è così, ritiro tutto.

[Maioc92]

scusa la domanda idiota ma l'ultimo tuo post mi fa venire 1 dubbio:
$ f^2(x^3) $ significa $ f(f(x^3)) $ o $ (f(x^3))^2 $?

Ma allora la risposta giusta è la seconda!?Io avevo capito che $ f^2(x^3)=f(f(x^3)) $
Chiedo umilmente perdono per questa enorme svista

[gianmaria]

Non è detto che tu non avessi ragione e io torto; il tuo ultimo intervento ha preceduto la mia modifica di pochi secondi. Ho spesso desiderato una notazione univoca per le potenze delle funzioni; ad esempio, con l'elevazione a -1 mi chiedo sempre se si intenda la funzione inversa o il semplice "uno fratto". Anche la parola "inversa" non è sempre chiara: l'inversa del coseno è la secante o l'arccos?

[fede90]

Se non erro, la notazione corretta sarebbe $ $f^n(x)$ $ per indicare $ $f(f(\dots f(x)\dots ))$ $, e $ $[f(x)]^n$ $ per indicare la potenza n-esima di f(x). Spesso però, per brevità, l'ultima espressione si scrive come $ $f^n(x)$ $ (ad esempio la relazione fondamentale della goniometria si scrive sempre come $ $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ $). Questo può a volte generare confusione, e sarebbe sempre meglio specificare, all'inizio, quale delle notazioni si usa...

Sul termine "funzione inversa" non dovrebbero esserci invece dubbi: g è l'inversa di f se g(f(x))=x per ogni x appartenente al dominio.

Riguardo a $ $f^{-1}$ $ cito invece dalla Sacra Bibbia:

ACHTUNG! In matematica si usa il simbolo $ $f^{-1}$ $ per indicare almeno tre cose completamente diverse: la funzione inversa, la funzione $ $1/f(x)$ $, la controimmagine. Solo il contesto permette di capire con quale siginificato è stato usato il simbolo.

[gianmaria]

Ringrazio Fede90 per i chiarimenti. Sono d'accordo sul fatto che la frase "funzione inversa" non dovrebbe dare equivoci, ma io mi riferivo al solo aggettivo; sul primo libro di trigonometria consultato leggo "la secante è l'inversa del coseno" e non è sbagliato; non ho proseguito l'indagine.

[SkZ]

se $ ~f(x^3)f(x^3)+\frac{1}{4} \le f(2x-1)\; \forall x \in \mathbb{R} $
allora $ ~f(2x-1)\geq 0 \; \forall x \in \mathbb{R} $

[dario2994]

Non capisco una cosa Skz... ma quella che hai postato è una dimostrazione di impossibilità??? Mi pare di aver capito che tu dimostri che non è biettiva dato che la cardinalità dei reali è maggiore di quella dei reali positivi???
È molto probabile che abbia detto un'immane cazzata... mi potete spiegare se la non biunivocità si può basare anche su diverse cardinalità infinite...