Troppi squares 2

[jordan]

Considerate la seguente affermazione: "Esistono $ n $ interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia anch'esso un quadrato".
Stabilire se sia vera o falsa se:
i) n=3
ii) n=4
iii) n=5
iv) n=6
v) n=11

[Anér]

per n=3 si vede subito mod3 che la somma è congrua a 2

per n=4 idem, ma mod4 e con somma congrua a 3

per n=5 la somma è divisibile per 5 ma mai per 25 (i residui quadratici di 25 sono 1, 4, 9, 16, 0, 11, 24, 14, 31, 0, 21, 19, 19, 21, 0, 31, 14, 24, 11, 0, 16, 9, 4, 1 e 0 , e si vede che 5 numeri consecutivi non sono divisibili per 25)

per n=6 sempre mod4 si ha la somma congrua a 3

per n=11 , per induzione (o per statistica, o meglio, perché è troppo faticoso calcolare i residui quadratici mod121) non è possibile!

[jordan]

Mmm ok, ma non ti sembra un po stano che sono tutti falsi?

[Anér]

No, affatto!

[jordan]

No, affatto!

Allora cerca una dimostrazione decente per n=5
e vediamo esplicitamente n=11

[SkZ]

con 5 basta fare i conti in modo opportuno
meglio ancora se si generalizza per n=2m+1
si vede benissimo che non e' possibile

[jordan]

meglio ancora se si generalizza per n=2m+1
si vede benissimo che non e' possibile

Are you sure?

[SkZ]

no infatti errore mio nel guardare
dimenticato un termine nella somma della formula generica.
Succede

[exodd]

con 5 basta fare i conti in modo opportuno

ponendo n, n+1, n+2, n+3, n+4 ed elevando tutto al quadrato e sommando viene
$ 5n^2+20n+30 $
$ 5(n^2+4n+6) $
per essere un quadrato $ (n^2+4n+6) $ deve essere multiplo di 5
passando tutto mod5 viene $ n^2-n+1 $
quindi sostituendo le varie classi di resto non viene mai...
0-> 0-0+1
1-> 1-1+1
2-> -1-2+1
-2-> -1+2+1
-1-> 1+1+1

[SkZ]

in verita' e' meglio $ ~n $, $ ~n\pm1 $, $ ~n\pm2 $

[SkZ]

riallacciandomi al post prima
dato $ ~n=2m+1 $ e considerato i numeri $ ~x, x\pm1, ..., x\pm m $, la somma dei quadrati e' pari a
$ $nx^2+2\sum_{k=1}^mk^2 $
dato che i doppi prodotti si eliminano tra loro.

per $ ~n=5 $ ottieni $ ~5x^2+10=5(x^2+2) $
se $ ~x^2+2 $ e' multiplo di 5 allora modulo 10 e' congruo a 10 o a 5, ergo $ ~x^2 $ modulo 10 e' congruo a 8 o 3. Impossibile



@jordan la sommatoria viene $ ~\propto n(n-1)(n+1) $, che non e' divisibile per $ ~n^2 $. dimenticandomi dell'altro termine me ne ero uscito con quella affermazione.

[jordan]

@jordan la sommatoria viene $ ~\propto n(n-1)(n+1) $, che non e' divisibile per $ ~n^2 $. dimenticandomi dell'altro termine me ne ero uscito con quella affermazione.

si l'avevo capito, senza che lo scrivevi comunque mi dici come si legge/scrive/altre info si quel simbolo "proporzionale"?la prima volta lho vista a princeton scritta alla lavagna da micthan88 e mè piaciuto per il significato pratico..

[edit: visto che manco skz risponde piu, aggiungo che per n=11 un caso esiste.. ]

[SkZ]

tecnicamente non posso rispondere: mi sono gia' preso la romanzina da sam una volta
vedro' nel week-end

[jordan]

Infatti ti stavo chiedendo quel simbolo, non di rispondere al quesito

[SkZ]

mi ero dimenticato

\propto ovvero "proporzionale a"
altro non saprei che dire

intanto scriviamo tutto, non so se puo' servire
per n dispari allora
$ $nx^2+\frac{(n-1)n(n+1)}{12} $

facilmente da questo si ottiene il caso n pari
$ $nx^2\pm nx+\frac{n(n^2+2)}{12} $
il $ ~\pm $ e' dovuto al fatto che non c'e' un centro. il caso pari e' un dispari a cui si e' tolto uno degli estremi