Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione:
x[x[x]]=84
Secondo il mio ragionamento x è circa 4. Ma come si scrivono tutte le soluzioni reali?
equazione con parti intere
Provo a risolverlo, comunque.
$ $ x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor = 84$ $
$ $ f(x) := x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor$ $
È una funzione debolmente crescente, in quanto presi due x a caso si ha che
$ $x_1 > x_2$ $ implica $ $f(x_1) \geq f(x_2)$ $
Allora pongo prima $ $x = 4.5$ $ e poi $ $x = 5$ $:
$ $ f(4.5) = 81 $ $
$ $ f(5) = 125 $ $
e deduco che $ $4.5<x<5$ $
ma se x è compreso in questo intervallo, ne consegue che $ \lfloor x \rfloor = 4$ $, quindi pongo la floor function più interna pari a 4. L'equazione diventa
$ $x \lfloor 4x \rfloor = 84$ $
Ma $ $\lfloor 4x \rfloor = \frac{84}{x}$ $, quindi $ $\frac{84}{x}$ $ sarà intero.
Esistono solo due interi che soddisfano questa relazione con la restrizione 4.5 < x < 5, e sono 17 (con x = 4.9 circa) e 18 (con x=4.666).
Quindi la soluzione è una tra quelle di
$ $17x=84$ $
$ $18x=84$ $
Rispettivamente $ $\frac{84}{17}$ $ e $ $\frac{14}{3}$ $.
Verificando i valori abbiamo che
$ $f \bigg( \frac{84}{17} \bigg) = \frac{1596}{17} $ $
$ $f \bigg( \frac{14}{3} \bigg) = 84 $ $
La soluzione cercata è la seconda:
$ $\boxed{x=4.\overline{6}}$ $
$ $ x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor = 84$ $
$ $ f(x) := x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor$ $
È una funzione debolmente crescente, in quanto presi due x a caso si ha che
$ $x_1 > x_2$ $ implica $ $f(x_1) \geq f(x_2)$ $
Allora pongo prima $ $x = 4.5$ $ e poi $ $x = 5$ $:
$ $ f(4.5) = 81 $ $
$ $ f(5) = 125 $ $
e deduco che $ $4.5<x<5$ $
ma se x è compreso in questo intervallo, ne consegue che $ \lfloor x \rfloor = 4$ $, quindi pongo la floor function più interna pari a 4. L'equazione diventa
$ $x \lfloor 4x \rfloor = 84$ $
Ma $ $\lfloor 4x \rfloor = \frac{84}{x}$ $, quindi $ $\frac{84}{x}$ $ sarà intero.
Esistono solo due interi che soddisfano questa relazione con la restrizione 4.5 < x < 5, e sono 17 (con x = 4.9 circa) e 18 (con x=4.666).
Quindi la soluzione è una tra quelle di
$ $17x=84$ $
$ $18x=84$ $
Rispettivamente $ $\frac{84}{17}$ $ e $ $\frac{14}{3}$ $.
Verificando i valori abbiamo che
$ $f \bigg( \frac{84}{17} \bigg) = \frac{1596}{17} $ $
$ $f \bigg( \frac{14}{3} \bigg) = 84 $ $
La soluzione cercata è la seconda:
$ $\boxed{x=4.\overline{6}}$ $
Oppure riscrivo $ $x=4+d$ $con $ $\frac{1}{2}\leq d < 1$ $. Sostituendo ottengo $ $(4+d)[16 +4d]=84$ $ cioè (portando fuori il 16) $ $16d+(4+d)[4d]=20$ $.
CASO 1: $ $\frac{1}{2}\leq d < \frac{3}{4}$ $ sostituendo ottengo $ $16d+(4+d)\cdot 2=20\Rightarrow d=\frac{2}{3}$ $.
CASO 2: $ $\frac{3}{4}\leq d < 1$ $ sostituendo ho $ $16d+(4+d)\cdot 3=20 \Rightarrow d=\frac{8}{19}<\frac{3}{4}$ $ che non va bene.
Quindi l'unica soluzione è $ $x=4+\frac{2}{3}$ $
CASO 1: $ $\frac{1}{2}\leq d < \frac{3}{4}$ $ sostituendo ottengo $ $16d+(4+d)\cdot 2=20\Rightarrow d=\frac{2}{3}$ $.
CASO 2: $ $\frac{3}{4}\leq d < 1$ $ sostituendo ho $ $16d+(4+d)\cdot 3=20 \Rightarrow d=\frac{8}{19}<\frac{3}{4}$ $ che non va bene.
Quindi l'unica soluzione è $ $x=4+\frac{2}{3}$ $
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
Quindi anche la mia è giusta?fede90 ha scritto:Oppure riscrivo $ $x=4+d$ $con $ $\frac{1}{2}\leq d < 1$ $. Sostituendo ottengo $ $(4+d)[16 +4d]=84$ $ cioè (portando fuori il 16) $ $16d+(4+d)[4d]=20$ $.
CASO 1: $ $\frac{1}{2}\leq d < \frac{3}{4}$ $ sostituendo ottengo $ $16d+(4+d)\cdot 2=20\Rightarrow d=\frac{2}{3}$ $.
CASO 2: $ $\frac{3}{4}\leq d < 1$ $ sostituendo ho $ $16d+(4+d)\cdot 3=20 \Rightarrow d=\frac{8}{19}<\frac{3}{4}$ $ che non va bene.
Quindi l'unica soluzione è $ $x=4+\frac{2}{3}$ $
Incredibile, è la seconda volta da quando sono iscritto *Incide un'altra tacca sulla scrivania*
