1+1/2+...+1/n non è mai intero

[julio14]

Dicevo che era 2^k perché quella che avevo capito io era sostanzialmente la stessa dimostrazione, solo che anziché impostare l'assurdo su intero/non intero lo impostava su pari/dispari usando l'mcm di tutti i numeri da 1 a n, senza il buco. Praticamente la stessa cosa con un 2 in più.
p.s. anch'io ho letto MCD e pensato mcm

[Bellaz]

Premetto che non ho letto gli altri post...
Risolvendo un esercizio per le olimpiadi dell'informatica mi sono trovato davanti a:

$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\ge 5 $

Trovare il più piccolo n per cui vale la disuguaglianza...

[SkZ]

ricordando cio'
http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_d ... Mascheroni
si riesce ad avere una buona base per cercare (ottima dato che $ ~\exp{5-\gamma}=83.3 $ e 83 e' il numero cercato)
Purtroppo non esiste una formula analitica per la serie armonica, ergo bisogna andare per tentativi

[jordan]

non ci avevo mai pensato che $ \sum{i^{-1}}>\ln{n} $, grazie Skz

[SkZ]

In verita' le maggiorazioni/minorazioni tra $ $\sum_i f(i) $ e $ $\int f(x)\textrm{d}x $ e' uno strumento usato in matematica, trovato da Cauchy, se non erro.
tolto che e' alla base della definizione di integrale con le funzioni a supporto compatto (il cui integrale e' una sommatoria in pratica).
Poi, scusa, ma e' strano che nessuno ti abbia detto prima che $ $\ln{n}<\sum_{k=1}^nk^{-1}<\ln{n}+1 $

[jordan]

Poi, scusa, ma e' strano che nessuno ti abbia detto prima che $ $\ln{n}<\sum_{k=1}^nk^{-1}<\ln{n}+1 $

Eh infatti l'anno scorso l'avevo usato per dimostare un esercizio adesso che mi ricordo, e non l'avevo visto da nessuna parte (non era una gran invenzione a ripensarci ) .. comunque a mia discolpa posso ben dire di non aver mai seguito un corso di analisi ( )

ps: so cosè un integrale!

[SkZ]

Come ti scaldi, non mettevo in dubbio che tu lo sapessi.
Quella parte era solo di chiacchere per rammendare quella definizione (che per me e' grandiosa e dovrebbe essere insegnata anche alle sup) che vede l'integrale come limite di 2 sommatorie (in pratica) e quindi si ricollega per bene al discorso.

[jordan]

Scusa, non mi stavo scaldando, comunque da qualche parte lo insegnano anche

[Northwood]

Si vuole mostrare che non esiste alcun n tale che la somma voluta, fatta fino a 1/n, sia un intero.

Siano p1,p2,...,pz i numeri primi minori o uguali a n DIVERSI DA TRE
Si consideri allora il numero

$ \vartheta = p_1p_2...p_n $

Analogamente agli interi, si consideri la somma voluta, fatta fino a 1/n, modulo
$ \frac{1}{\vartheta} $

Restano soltanto i termini il cui denominatore contiene soltanto una potenza di 3, cioè il tutto si riduce a:
$ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^k} (mod \frac{1}{\vartheta}) $
che è uguale a:
$ \frac{3^k - 1}{2*3^k} (mod \frac{1}{\vartheta}) $

Ovviamente $ \frac{1}{\vartheta} $ non è un intero, e nemmeno $ \frac{3^k - 1}{2*3^k} $

Supponiamo che ci sia un intero y per il quale ci sia un intero x che soddisfa la seguente relazione:
$ \frac{3^k - 1}{2*3^k} + \frac{x}{\vartheta} = y $
Ma allora:
$ \vartheta(3^k - 1) + 2*3^kx = 2*3^k\vartheta*y $
$ 2*3^kx - 2*3^k\vartheta*y = -\vartheta(3^k - 1) $

Si nota che questa diofantea non ha soluzioni giacchè
$ GCD(a,b) = 2*3^k $ non divide $ -\vartheta(3^k - 1) $

e dunque non esiste nessun n

POST SCRIPTUM: c'è un errore grossolano e sta in "Analogamente agli interi". Scusate