Trapezio tagliato [semplice]

[Goldrake]

Consiglio a chi non si sente troppo forte di cimentarsi, è abbordabile

Considerato un trapezio qualsiasi, siano $ $a$ $ e $ $b$ $ le lunghezze delle basi, con $ $a>b$ $.
Sia inoltre $ $M$ $ il punto medio del lato obliquo $ $AD$ $ e $ $N$ $ il punto medio dell'altro lato obliquo, $ $BC$ $.

Provare che
$ $\text{Area}(ABNM)>2\text{Area}(MNCD)$ $
se e solo se
$ $a>5b$ $

Ciao.

[stefanos]

Allora, calcolo le aree dei trapezi $ ABNM, MNCD $.

Si nota facilmente che la lunghezza di $ MN $ e` la media aritmetica di $ a, b $; inoltre, l'altezza dei due trapezi e` meta` dell'altezza del trapezio $ ABCD $, che chiamiamo $ h $.

Ora, l'area del primo e` $ \frac{\left(\frac{a + b}{2} + a\right) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(3a + b) \cdot h}{8} $. Analogamente, l'area dell'altro trapezio e` $ \frac{(a + 3b) \cdot h}{8} $. Sostituiamo queste espressioni nella disequazione, e otteniamo $ a > 5b $.

E` giusto?

[Goldrake]

Sì, certo.

[Agostino]

Si nota facilmente che la lunghezza di $ MN $ e` la media aritmetica di $ a, b $;

Domanda: questo come dimostri? Considerando il triangolo equivalente al trapezio?

[stefanos]

Traccia $ MN $, poi traccia le perpendicolari alla base minore passanti per i vertici: si creano un po' di triangoli congruenti (simili + stessa altezza). Ora calcola la lunghezza di $ MN $: e` $ b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} $. Ti torna?

[Agostino]

Traccia $ MN $, poi traccia le perpendicolari alla base minore passanti per i vertici: si creano un po' di triangoli congruenti (simili + stessa altezza). Ora calcola la lunghezza di $ MN $: e` $ b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} $. Ti torna?

Sisi grazie...approfitti quindi anche del teorema delle rette parallele...io invece l'avevo dimostrato considerando il triangolo equivalente...

[Goldrake]

Si può anche semplicemente "raddoppiare" il trapezio, ottenendo un parallelogramma fatto da due trapezi accostati e capovolti.

E' immediato che
$ $2MN=a+b$ $

[Anér]

Oppure si traccia una diagonale del trapezio e si dimostra con Talete che MN viene diviso in due parti, una pari alla metà della base maggiore e una pari alla metà della base minore.