Data una parabola $ \displaystyle y=ax^2+bx+c $ è vero, come ho letto, che l'apertura della parabola dipende solo da a?
Se si, come si può dimostrare?
Grazie,
Startrek
Dimostrazione apertura parabola
Se come apertura ti riferisci al fatto che abbia una concavità verso l'alto o verso il basso, si, dipende solo da $ a $
Se $ a $ è positivo avrà una concavità verso l'alto, tipo U
se $ a $ è negativo, avrà una concavità verso il basso, tipo U rovesciata.
Non ho idea di come si faccia a dimostrarlo. Probabilmente puoi dire che quando la seconda derivata di una funzione è negativa per tutti i valori di $ x $ in un intervallo la funzione ha una concavità verso il basso, e quando è positiva ne ha una verso l'alto. Ora, la seconda derivata della parabola in questione è $ 2a $, costante. Quindi ne segue che la concavità di una parabola dipende solo da a.
Non sono però sicuro al 100% che vada bene come dimostrazione, attendo gente più esperta di me che verifichi o smentisca!
Se $ a $ è positivo avrà una concavità verso l'alto, tipo U
se $ a $ è negativo, avrà una concavità verso il basso, tipo U rovesciata.
Non ho idea di come si faccia a dimostrarlo. Probabilmente puoi dire che quando la seconda derivata di una funzione è negativa per tutti i valori di $ x $ in un intervallo la funzione ha una concavità verso il basso, e quando è positiva ne ha una verso l'alto. Ora, la seconda derivata della parabola in questione è $ 2a $, costante. Quindi ne segue che la concavità di una parabola dipende solo da a.
Non sono però sicuro al 100% che vada bene come dimostrazione, attendo gente più esperta di me che verifichi o smentisca!
Tale affermazione dovrebbe essere giusta. Per dimostrarlo puoi cercare di dimostrare che la parabola di equazione $ y=ax^2+bx+c $ è la parabola $ y=ax^2 $ traslata di un vettore $ $(v_x,v_y)=(\frac{b}{2a}, \frac {b^2}{4a}-c)$ $ (se non ho sbagliato i conti), indicando con $ v_x $ lo spostamento nella direzione dell'asse x etc.
Saluti
Ob
Saluti
Ob
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Fedecart quello che dici è giustissimo ma io mi riferivo a quanto era aperta la parabola, alla sua "forma".
Grazie del consiglio Oblomov, provo subito.
Startrek
P.S. Le coordinate del vertice sono opposte a quelle che hai dato tu, ossia è $ $(v_x,v_y)=(-\frac{b}{2a}, -\frac {b^2}{4a}+c)$ $ (mancavano due meno (giusto per non lasciare inesattezze nel forum)).
Grazie del consiglio Oblomov, provo subito.
Startrek
P.S. Le coordinate del vertice sono opposte a quelle che hai dato tu, ossia è $ $(v_x,v_y)=(-\frac{b}{2a}, -\frac {b^2}{4a}+c)$ $ (mancavano due meno (giusto per non lasciare inesattezze nel forum)).
Funziona! 
Ecco qui il procedimento!
Data la parabola $ \displaystyle y=ax^2 $ pongo
$ \displaystyle x_I = x+v_x $
$ \displaystyle y_I = y+v_y $
dove $ \displaystyle x_I $ e $ \displaystyle y_I $ sono le nuove coordinate dopo la traslazione.
Riottengo le vecchie coordinate in funzione delle nuove
$ \displaystyle x = x_I+\frac{b}{2a} $
$ \displaystyle y = y_I+\frac{b^2}{4a}-c $
e sostituisco in $ \displaystyle y=ax^2 $ ottenendo
$ \displaystyle y_I + \frac{b^2}{4a}-c=ax_I^2 + bx_I+\frac{b^2}{4a} $
$ \displaystyle y_I =ax_I^2 + bx_I+c $
Tolgo gli apici in quanto sia x che $ \displaystyle x_I $ si riferiscono allo stesso sistema di riferimento ed ottengo
$ \displaystyle y =ax^2 + bx+c $
c.d.d
[modifica] Ho corretto un - sbagliato in +.
Ecco qui il procedimento!
Data la parabola $ \displaystyle y=ax^2 $ pongo
$ \displaystyle x_I = x+v_x $
$ \displaystyle y_I = y+v_y $
dove $ \displaystyle x_I $ e $ \displaystyle y_I $ sono le nuove coordinate dopo la traslazione.
Riottengo le vecchie coordinate in funzione delle nuove
$ \displaystyle x = x_I+\frac{b}{2a} $
$ \displaystyle y = y_I+\frac{b^2}{4a}-c $
e sostituisco in $ \displaystyle y=ax^2 $ ottenendo
$ \displaystyle y_I + \frac{b^2}{4a}-c=ax_I^2 + bx_I+\frac{b^2}{4a} $
$ \displaystyle y_I =ax_I^2 + bx_I+c $
Tolgo gli apici in quanto sia x che $ \displaystyle x_I $ si riferiscono allo stesso sistema di riferimento ed ottengo
$ \displaystyle y =ax^2 + bx+c $
c.d.d
[modifica] Ho corretto un - sbagliato in +.
Ultima modifica di Startrek il 14 giu 2008, 15:05, modificato 2 volte in totale.
Capita quando non si fa attenzione a ciò che si scrive (in pratica avevo ottenuto l'opposto, cioè il vettore che sposta la parabola generica nella parabola -e vabeh, nella famiglia di parabole- passante per l'origine e avente l'asse y come asse di simmetria). Ci sarebbe anche un metodo di pura geometria analitica (trovando l'equazione della parabola dati fuoco e direttrice) ma è più lungo e brigoso.Startrek ha scritto:Le coordinate del vertice sono opposte a quelle che hai dato tu
A riscriverci.
Ob
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Come Dovevasi Dimostrare. Noto anche nelle varianti Come Volevasi Dimostrare, Quod Erat Demonstrandum, Which Was What We Wanted e $ \square $ (per gli amici).Desmo90 ha scritto:Solo una curiosità, cosa vuol dire c.d.d?
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