limite inesistente
limite inesistente
come faccio a provare che il $ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x/|tan(x)| $ non esiste?
Ok, chiarito questo:
- una sottosuccessione che va ad infinito non è difficile trovarla. Ad esempio possiamo considerare i valori di x per cui $ ~ \tan x = 1 $, che sono arbitrariamente grandi.
- una sottosuccessione che non va ad infinito la si trova sfruttando il fatto che $ ~ \tan x $, con x che fa da 0 a pi/2 (escluso...) prende tutti i reali positivi.
Per ogni k naturale, esiste un $ ~ x_k \in [k\pi, (k+\frac 12) \pi ] $ tale che $ ~ \tan x_k > (k+\frac 12)\pi $ (semplicemente perchè $ ~ (k+\frac 12)\pi $ è costante e la tangente becca tutti i reali positivi...). Siccome $ ~ (k+\frac 12)\pi > x_k $, avremo $ ~ \frac{x_k}{\tan x_k} < 1 $.
- una sottosuccessione che va ad infinito non è difficile trovarla. Ad esempio possiamo considerare i valori di x per cui $ ~ \tan x = 1 $, che sono arbitrariamente grandi.
- una sottosuccessione che non va ad infinito la si trova sfruttando il fatto che $ ~ \tan x $, con x che fa da 0 a pi/2 (escluso...) prende tutti i reali positivi.
Per ogni k naturale, esiste un $ ~ x_k \in [k\pi, (k+\frac 12) \pi ] $ tale che $ ~ \tan x_k > (k+\frac 12)\pi $ (semplicemente perchè $ ~ (k+\frac 12)\pi $ è costante e la tangente becca tutti i reali positivi...). Siccome $ ~ (k+\frac 12)\pi > x_k $, avremo $ ~ \frac{x_k}{\tan x_k} < 1 $.
In attesa di una dimostrazione rigorosa, osservo "operativamente" che tale limite non esiste, riscrivendolo come
lim (x/abs(sinx)) * lim (abs(cosx))
ora il primo limite è +inf, mentre il secondo non esiste, poichè varia tra -1 e 1
per l'unicità del limite, tale limite non esiste.
mi rendo conto che questa nn è una dimostrazione (per dire che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti dovrebbe esistere il limite di ciascun fattore)..
al massimo posso notare che la funzione abs(cosx) è limitata ma non regolare a +inf, mentre la funzione x/abs(sinx) diverge positivamente, per cui è impossibile stabilire se il loro prodotto diverga positivamente o negativamente.
lim (x/abs(sinx)) * lim (abs(cosx))
ora il primo limite è +inf, mentre il secondo non esiste, poichè varia tra -1 e 1
per l'unicità del limite, tale limite non esiste.
mi rendo conto che questa nn è una dimostrazione (per dire che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti dovrebbe esistere il limite di ciascun fattore)..
al massimo posso notare che la funzione abs(cosx) è limitata ma non regolare a +inf, mentre la funzione x/abs(sinx) diverge positivamente, per cui è impossibile stabilire se il loro prodotto diverga positivamente o negativamente.
(@edriv)è la stessa cosa a cui avevo pensato io, evidente anche confrontando i grafici. ma ciò che non mi convince è: considerata la seconda sottosuccessione, non sono in grado di confrontare il modo in cui la tangente va all'infinito e il modo con cui ci va la retta, non so se mi sono spiegato e se il mio dubbio è lecito...
L'approccio "operativo" funziona benissimo:
Se $ L=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{|\tan x|}} $, limite finito, allora
$ \displaystyle{L\cdot 0=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{|\tan x|}\cdot \frac{|\sin x|}{x}} $$ \displaystyle{=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{|\cos x|}} $
Ma l'ultimo limite non esiste, quindi L deve essere infinito, ma questo è banalmente falso, analizzando la successione dei punti $ x_k $ tali che $ x_k=\tan (x_k) $.
(In realtà, non ci sarebbe bisogno di distinguere infinito o finito per L, ma ci sarebbe un discorso più sottile sul fatto che il prodotto di due funzioni che ammettono limite ha ancora limite, anche quando i due limiti sono 0 e infinito.)
Se $ L=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{|\tan x|}} $, limite finito, allora
$ \displaystyle{L\cdot 0=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{|\tan x|}\cdot \frac{|\sin x|}{x}} $$ \displaystyle{=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{|\cos x|}} $
Ma l'ultimo limite non esiste, quindi L deve essere infinito, ma questo è banalmente falso, analizzando la successione dei punti $ x_k $ tali che $ x_k=\tan (x_k) $.
(In realtà, non ci sarebbe bisogno di distinguere infinito o finito per L, ma ci sarebbe un discorso più sottile sul fatto che il prodotto di due funzioni che ammettono limite ha ancora limite, anche quando i due limiti sono 0 e infinito.)