disuguaglianza da cortona 95

[sgiangrag]

si determini il minimo di
$ \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} $
essendo a,b,c,d reali positivi con
$ a+b+c+d=20 $.

potreste correggermi questa soluzione, per favore? nel caso postate anche le vostre:
innanzitutto notiamo che se $ a>c $ allora $ \frac{1}{b-a}-\frac{1}{b-c}=\frac{a-c}{(b-a)(b-c)}>\frac{a-c}{(a+b)(b+c)}=\frac{1}{b+c}-\frac{1}{b+a} $
da cui
$ \frac{1}{b-a}+\frac{1}{(b+a)}>\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b+c} $
quindi, ponendo c=0
$ \frac{1}{b-a}-\frac{1}{b}>\frac{1}{b}-\frac{1}{b+a} $
moltiplicando tutto per $ \frac{1}{b-a}+\frac{1}{b} $ e tenuto conto che $ \frac{1}{b-a}+\frac{1}{b} $ è maggiore di $ \frac{1}{b}+\frac{1}{b+a} $ allora si ha
$ \frac{1}{(b-a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2}>\frac{2}{b^2} $
sia
$ x,y,z \geq\ 0 $
$ 5-x-y,5-x+y,5+x-z,5+x+z>0 $
$ \frac{1}{5+x-z}\frac{1}{5+x+z}=\frac{1}{(5+x)^2-z^2} $ membro1: è decrescente per z che decresce
$ (\frac{1}{5-x-y}+\frac{1}{5-x+y})(\frac{1}{5+x-z}+\frac{1}{5+x+z}) $membro2: è decrescente per z che decresce infatti se 0<=z<w
$ p=(\frac{1}{5-x-y}+\frac{1}{5-x+y}) $
$ q=(\frac{1}{5+x-z}+\frac{1}{5+x+z}) $
$ r=(\frac{1}{5+x-w}+\frac{1}{5+x+w}) $ allora per quanto osservato prima
$ pq<pr $
$ \frac{1}{5-x-y}\frac{1}{5-x+y} $ membro3: rimane costante rispetto a z.
sia $ \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd}=f(a,b,c,d) $
sommando i 3 membri si ha che $ f(5-x-y,5-x+y,5+x-z,5+x+z) $ al variare di z assume il valore minimo per z=0 per quanto detto prima. In tal caso
$ f(a,b,c,d)=\frac{1}{(5-x)^2-y^2}+\frac{2}{(5-x-y)(5+x)}+\frac{2}{(5-x+y)(5+x)}+\frac{1}{(5+x)^2} $
$ =\frac{2}{5+x}(\frac{1}{5-x+y}+\frac{1}{5-x-y})+\frac{1}{(5+x)^2}+\frac{1}{(5-x)^2-y^2} $
$ \geq\ \frac{2}{5-x}\frac{2}{5+x}+(\frac{1}{(5-x)^2}}+\frac{1}{(5+x)^2})= $
$ \frac{4}{(5-x)^2}+(\frac{1}{(5-x)^2}+\frac{1}{(5+x)^2}) \geq\ \frac{6}{25} $ in quanto 0<=x<5 altrimenti 5-x-y sarebbe negativo
osserviamo che per opportune scelte di x,y,z si possono avere tutte le quaterne di reali positivi a,b,c,d con $ a=5-x-y; b=5-x+y; c=5+x-z; d=5+x+z $ con $ a+b+c+d=20 $. Infatti 5-x è la media tra a,b e necessariamente 5+x deve essere quella tra c,d; la distanza 2y tra a,b può essere diversa da quella 2z tra c,d. Per ogni scelta consentita di a,b,c,d
$ f(a,b,c,d) \geq\ f(a,b,5+x,5+x) \geq\ \frac{6}{25} $ in cui nel secondo membro quindi la f si riferisce a z=0.
Arrivo alla conclusione: per $ a=b=c=d $ $ f(a,b,c,d)=\frac{6}{25} $ dunque questo numero è realmente ottenibile, perciò è il minimo. Tutto giusto?

[Noemi91x]

io l'ho fatta,applicando media artimetica e media armonica ad :ac,ad,ab,cd,bc,bd.
da cui ottieni un ' altra disuguaglianza e poi ho riapplicato media geometrica e aritmetica,fino a trovare che a=b=c=d=5 e si ottiene che il minimo dell'espress è il risultato che hai trovato tu ovvero 6/25

potrei scriverti i passaggi ma è solo che ancora devo imparare latex e forse è il momento di iniziare

[sgiangrag]

ma la mia è giusta?

[darkcrystal]

Faccio voto di studiare la soluzione di sgiangrang (spero di rispettarlo)
Intanto la mia
La robaccia è $ = \frac{6}{HM} $ con la media armonica fatta su (ab,ac,ad,bc,bd,cd). Del resto $ \frac{6}{HM} \geq \frac{6}{AM}=\frac{6}{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} $. Il denominatore lo chiamo h.
Per McLaurin, $ \sqrt{h} \leq \frac{a+b+c+d}{4} \leftrightarrow h \leq 25 $, da cui ancora $ \frac{6}{h} \geq \frac{6}{25} $ dove il minimo è ottenuto sse a=b=c=d=5 (devono valere i segni di uguale per via della HM-AM)

Ciao

[sgiangrag]

cosa dice mc laurin?

[sgiangrag]

Faccio voto di studiare la soluzione di sgiangrang (spero di rispettarlo)

questo ragazzo mi era sembrato animato di tanta buona volontà ma alla fine mi si è spento...
non c'è proprio nessuno che voglia dare una occhiata alla mia soluzione? il fatto è che sono alle prime e perciò volevo controllare se avevo scirtto c.....ate oppure se la sol era giusta

[salva90]

cosa dice mc laurin?

La parte che interessa a noi al momento è

$ \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\le\frac{a+b+c+d}{4} $

[Jacobi]

Vi siete scordati dei nostri cari moltiplicatori di lagrange? Anche questo sarebbe un modo carino per risolvere il problema

[Jacobi]

Se per caso capitasse un esercizio come questo a cesenatico e io lo risolvessi con lagrange che punteggio mi darebbero?

[salva90]

Se per caso capitasse un esercizio come questo a cesenatico e io lo risolvessi con lagrange che punteggio mi darebbero?

Se risolvi correttamente il massimo, se però tralasci qualche ipotesi, o dai per scontato qualcosa che non lo è, ti uccidono

[Jacobi]

grazie !! ( credevo che non accettassero l'uso di strumenti che potrebbero essere un poco piu avanzati )

[darkcrystal]

Più che altro, si è fuso tutto... but I'm back

Però giuro che non capisco la tua soluzione. Arrivi a dire (in un modo un po' losco, tra l'altro, perchè tra le ipotesi c'è $ c>0 $ e poi misteriosamente poni $ c=0 $, ma va be') che $ \frac{1}{(b-a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2} > \frac{2}{b^2} $... e poi non capisco come lo usi!

Poi, chi ti dice che $ 0 \leq x \leq 5 $? Potrebbe benissimo essere un negativo (magari "piccolo", anche se non so bene cosa voglia dire numero "piccolo") senza per questo andare per forza a rendere negativo uno tra (a,b,c,d)... se vuoi fare ragionamenti di questo tipo, comunque, forse ti conviene dire all'inizio che "l'espressione data è simmetrica, quindi posso supporre che l'ordine delle variabili (come grandezza) sia un po' quello che mi pare a me"

Vabon... in parte il mio voto l'ho rispettato.

Ciau!

[sgiangrag]

tra le ipotesi c'è $ c>0 $ e poi misteriosamente poni $ c=0 $

si qua hai ragione tu: il fatto è che nella disuguaglianza da cui deriva $ \frac{1}{(b-a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2} > \frac{2}{b^2} $ a,b,c non sono riferiti agli a,b,c di prima (per cui non si ha c>0): avrei dovuto usare altre lettere ma poi sarebbe stato un casino di lettere...

$ \frac{1}{(b-a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2} > \frac{2}{b^2} $... e poi non capisco come lo usi!

lo uso nel passaggio
$ \frac{4}{(5-x)^2}+(\frac{1}{(5-x)^2}+\frac{1}{(5+x)^2}) \geq\ \frac{6}{25} $ e in particolare $ (\frac{1}{(5-x)^2}+\frac{1}{(5+x)^2}) \geq\ \frac{2}{(5-x)^2} \geq\ \frac{2}{25} $ e quest'ultimo passaggio è vero in quanto 0<=x<5 altrimenti 5-x-y sarebbe negativo

Poi, chi ti dice che $ 0 \leq x \leq 5 $? Potrebbe benissimo essere un negativo (magari "piccolo", anche se non so bene cosa voglia dire numero "piccolo") senza per questo andare per forza a rendere negativo uno tra (a,b,c,d)... se vuoi fare ragionamenti di questo tipo, comunque, forse ti conviene dire all'inizio che "l'espressione data è simmetrica, quindi posso supporre che l'ordine delle variabili (come grandezza) sia un po' quello che mi pare a me"

si hai ragione tu anche qui. Ho scordato di dire all'inizio che $ a \leq\ b \leq\ c \leq\ d $. In queste condizioni si possono salvare le condizione $ x,y,z \geq\ 0 $ e $ x,y,z \leq\ 5 $ (non farmi dimostrare anche questo). Con queste correzioni la dimostrazione va tutta bene?