Ciao a tutti! Sono nuovo e spero che questo forum mi sia d'aiuto nei miei continui problemi matematici
Sto studiando Combinatoria e sono arrivato alle permutazioni. Il lemma di Serret che data una permutazione $ \sigma $ e una trasposizione $ \tau $=(i,j) dice che il numero di cicli di una permutazione z($ \sigma \tau $) è z($ \sigma $) + 1 se i e j appartengono allo stesso ciclo di $ \sigma $ , z($ \sigma $) - 1 altrimenti.
Nei miei appunti c'è anche la dimostrazione che però non ho ben capito. Potreste farmi vedere un esempio per capire o proprio la dimostrazione? Grazie.
Non l'avevo mai sentito questo lemma, ma non penso ci volesse quel tale Serret per dimostrarlo. Ecco un'idea di come funziona:
Tu sai che ogni permutazione può essere vista come la composizione di cicli disgiunti. Capire perché è facilissimo, basta prendere il primo elemento, e vedere "che strada fa" componendo la permutazione con sé stessa, finché non torna nella posizione iniziale: questo è il primo ciclo. Se resta fuori qualche elemento, ripeti la stessa operazione, finché non restano più elementi.
Ovviamente così facendo potrai avere cicli di un solo elemento, detti anche punti fissi della permutazione.
Considera adesso una trasposizione (i,j), con i e j distinti, componila con la permutazione (ovvero, fai prima la trsposizione e poi la permutazione) e vedi cosa succede: se i e j appartengono allo stesso ciclo della permutazione, sostanzialmente lo stai dividendo in 2 cicli più piccoli, mentre se appartengono a 2 cicli diversi, li stai unendo in uno solo. Da qui le formule che hai scritto.
Se io ad esempio ho $ \sigma $=(1,2,5,6) e $ \tau $=(2,5) mi trovo nel caso in cui i e j si trovano nello stesso ciclo della permutazione. Quindi il prodotto tra $ \sigma $ e $ \tau $ (facendo agire prima $ \tau $ e poi $ \sigma $) verrebbe fuori (1,2,6)(3)(4)(5). Qui dov'è quella suddivisione in 2 cicli più piccoli che mi hai detto?
In generale, se il tuo ciclo è $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $ e la trasposizione è $ (a_i, a_j) $ con $ i<j $, i due cicli risultanti sono $ (a_1, \ldots, a_{i-1}, a_j, \ldots, a_n) $ e $ (a_i, \ldots, a_{j-1}) $. La verifica è molto semplice...
Senza perdita di generalità possiamo assumere che gli elementi del ciclo siano 1, 2, ..., n, e che ognuno venga mandato nel successivo. Supponiamo adesso n=6.
Scriviamo la permutazione $ \sigma $ come
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1.
Significa che $ \sigma(1)=2 $, $ \sigma(2)=3 $, etc.
Supponiamo adesso che la trasposizione scambi 3 con 5, e che quindi si scriva come
1 2 3 4 5 6
1 2 5 4 3 6.
Componiamo la trasposizione e la permutazione, e otteniamo
1 2 3 4 5 6
1 2 5 4 3 6
2 5 4 3 6 1.
Il primo ciclo è (1, 2, 5, 6), mentre il secondo ciclo è (3, 4).
Confronta adesso questo esempio con quello che dicevo nel mio post precedente.
