2 satelliti con filo [sant'anna] [3/2006]

[giorgiobusoni87]

Ci sono 2 satelliti di massa $ M_S=10^{3} kg $ collegati attraverso un filo flessibile ed inestendibile della lunghezza di $ L=10 km $. Il primo satellite ha un'orbita di raggio $ R_1=10^{4} km $, il secondo satellite orbita internamente a distanza $ L $. I due satellite ruotano con stessa velocità angolare ed in modo da essere sempre allineati col centro della terra. Si determini:

(a) il periodo di rotazione del sistema navetta-satellite intorno alla terra.

(b) la tensione a cui è sottoposto il filo di collegamento.

Dati:
- costante di gravitazione universale $ G_n = 6,7 \cdot 10^{-11} m^3/kg s^2 $
- massa della terra $ M_T=6 \cdot 10^{24} kg $

[BMcKmas]

Assomiglia molto a:

http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... 5a018291fa

è un caso?

[giorgiobusoni87]

vorrà dire che quelli del sant'anna sono monotoni.... questo è di quest'anno

[Gauss_87]

vediamo se ho capito il problema che mi desta un "sospetto":

Considero il vettore radiale verso il centro della Terra.

Inoltre interpreto il fatto che un satellite ha orbita di raggio $ R_1 $ come "satellite distante $ R_1 + R_T $" dal centro della Terra".

Applico il II principio di Newton sul satellite più esterno e poi su quello interno:

$ M_S \vec{a_S} = \vec{F_G} + \vec{T} $

(tutte forze sulla direzione radiale)

$ \displaystyle M_S \omega^2 (R_1 + R_T) = G \frac{M_S M_T}{(R_1 + R_T)^2} + T $ (1)

$ \displaystyle M_S \omega^2 (R_1 + R_T - L) = G \frac{M_S M_T}{(R_1 + R_T - L)^2} - T $ (2)

(la tensione $ T $ è la stessa perchè il filo è ideale...)

La (1) e la (2) formano un sistema di 2 equazioni in 2 incognite $ \omega $ e $ T $, infine si avrà il periodo $ P = \frac{2\pi}{\omega} $.

Ora i calcoli sono abbastanza lunghi, sommando le equazioni si elimina $ T $ e si ricava $ \omega $...

Però per i dati si ha $ R_1 + R_T >> L $, quindi banalmente dovrebbe venire il classico periodo di un satellite ad una certa distanza dalla Terra e tensione (quasi) nulla perchè i due satelliti sono soggetti quasi alle stesse forze gravitazionali.

Che dite? Non sono molto convinto...

[giorgiobusoni87]

allora innanzitutto scusate ma copiando i dati da un altro problema ho lasciato il raggio terrestre e questo ha creato confusione: il raggio dell'orbita di 10000 km è già la distanza dal centro della terra

[Gauss_87]

allora innanzitutto scusate ma copiando i dati da un altro problema ho lasciato il raggio terrestre e questo ha creato confusione: il raggio dell'orbita di 10000 km è già la distanza dal centro della terra

Ok grazie quindi nelle equazioni che ho scritto basta traslare:

$ R_1 + R_T\rightarrow R_1 $

[SkZ]

prolungando i tuoi calcoli e posto $ \displaystyle \lambda=\frac{L}{R} \qquad \omega_0=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R^3}} $ si ha (fermandomi ad ogni approssimazione a $ \lambda^2 $)
$ \displaystyle \omega\simeq \omega_0 \left( 1+\frac{\lambda}{4} - \frac{\lambda^2}{2}\right) $
e
$ \displaystyle T\simeq M_\oplus R \omega_0^2 \left(\frac{\lambda}{2} - \frac{15\lambda^2}{16} \right) $

quindi se poni $ \lambda=0 $ hai appunto i risultati da te esposti. Che cos'e' che non ti convince?

[Gauss_87]

ok, allora pensavo bene...

una cosa scontata che nn ho detto: trascuriamo la Forza Gravitazionale tra i 2 satelliti!!!

[SkZ]

una cosa scontata che nn ho detto: trascuriamo la Forza Gravitazionale tra i 2 satelliti!!!

ok volersi fare del male, ma non esageriamo