semplice e più difficile

[fioweb]

a) Trovare la più piccola costante a tale che
$ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $
sia vera per ogni tutti gli x, y reali, per tale valore di a stabilire quando si ha uguaglianza

b)Trovare la più piccola costante a tale che
$ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $
sia vera per ogni tutti gli x, y INTERI, per tale valore di a stabilire quando si ha uguaglianza.

[pic88]

Brutalmente, ovvero con l'analisi, otteniamo:
$ \displaystyle\ T:=6x^2-4xy+y^2-y $

$ \displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{\partial } {{\partial x}}T = 12x - 4y = 0 \hfill \\ \frac{\partial } {{\partial y}}T = 2y - 4x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $
che ha per soluzione la coppia $ \left(\frac1{2};\frac2{3}\right) $

e $ T\geqslant T \left(\frac1{2};\frac2{3}\right)=-\frac3{4} $

da cui $ min\left{a\right}=\frac3{4} $

[fioweb]

Io sono pervenuto allo stesso risultato parabolizzando (e imponendo i vari delta minori o uguali a 0). Il punto a è risolto. E' il punto b che crea problemi : infatti,, se 3/4 è il minimo a per cui la disuguaglianza è sempre vera per i reali non è detto che sia il minimo perchè sia sempre vera per gli interi. Cioè, potrebbe esistere un a minore di 3/4 tale che la disuguaglianza NON è verificata per ogni reale ma lo è per ogni intero.
Difatti, la diseq, con a>3/4 , rappresenta la "parte esterna" di un' ellisse immaginaria (cioè l'intero piano).
Il problema si riduce allora a trovare il valore di a tale che nessun punto interno all'ellisse abbia cordinate intere. Per quanto mi riguarda 3/4 non è il minimo valore di a che soddisfa il punto b.
Può forse essere conveniente cercare un metodo grafico?

[MindFlyer]

Brutalmente, ovvero con l'analisi, otteniamo:
$ \displaystyle\ T:=6x^2-4xy+y^2-y $
[...]
che ha per soluzione la coppia $ \left(\frac1{2};\frac2{3}\right) $
e $ T\geqslant T \left(\frac1{2};\frac2{3}\right)=-\frac3{4} $

Ciau piccolo amico, mi spieghi come hai fatto a dedurre che la coppia che hai trovato è un minimo assoluto, solo dall'annullarsi delle derivate parziali? Visto che hai preso in mano prematuramente un libro di Analisi 2, saprai meglio di me che non sempre un punto critico è un punto estremante.

[phi]

E' il punto b che crea problemi : infatti,, se 3/4 è il minimo a per cui la disuguaglianza è sempre vera per i reali non è detto che sia il minimo perchè sia sempre vera per gli interi. Cioè, potrebbe esistere un a minore di 3/4 tale che la disuguaglianza NON è verificata per ogni reale ma lo è per ogni intero.
[...]
Può forse essere conveniente cercare un metodo grafico?

Non mi pare. Sono interi, opterei per qualche innocua scomposizione dall'aria un po' più olimpica...
Vediamo se funziona.
$ 6x^2-4xy+y^2-y\geq -a $
Ovviamente voglio trovare il minimo del membro a sinistra per x, y interi. Lo riscrivo così:
$ (2x-y)^2+2x^2-y $
e adesso pongo $ 2x-y=z $, ottenendo
$ z^2+2x^2+z-2x $, e cioè $ z(z+1)+2x(x-1) $.
Direi che è facile vedere che il minimo di questa espressione è 0: lo si ottiene per x=0 o x=1 (per x>1 e x<0 $ 2x $ e $ x-1 $ sono concordi e danno una quantità positiva); z=0 o z=-1 (chiaro che $ z^2+z $ è sempre positivo se diverso da 0).
Perciò, riassumendo, abbiamo che a=0, e che l'uguaglianza si ottiene per le seguenti coppie (x;y):
(0;0) (0;1) (1;2) (1;3)

[EvaristeG]

Se non nella lettera (forse un po' troppo sarcastico), di certo nello spirito la risposta di Mind è fedele e coerente con i principi che regolano la correzione alle Olimpiadi di Matematica : potete usare l'analisi, ma al minimo errore o anche solo per la più piccola imprecisione verrete fustigati e appesi per gli alluci nella pubblica piazza, esposti alla derisione delle folle.

[pic88]

Ciau piccolo amico, mi spieghi come hai fatto a dedurre che la coppia che hai trovato è un minimo assoluto, solo dall'annullarsi delle derivate parziali? Visto che hai preso in mano prematuramente un libro di Analisi 2, saprai meglio di me che non sempre un punto critico è un punto estremante.

ciao grande moderatore,
che dire? non avendo (ahimè) nessun libro di analisi 2 ho proceduto così: si annullano le derivate prime in quella coppia, ma non le derivate seconde (questa verifica è stata omessa nel post, ma mi sembra sensata: punti a tangente orizzontale non estremanti dovrebbero essere flessi). Dopodichè, non può essere un massimo perchè ad esempio $ T(0;0)=0 $. Inoltre la funzione è derivabile in ogni punto. Mi chiedo (e anzi vi chiedo): se avessi aggiunto queste cose sarebbe bastato a rendere accettabile la dimostrazione?

grazie

[EvaristeG]

No pic, non sarebbe bastato : quella che deve essere positiva (o meglio definita positiva) affinchè il punto sia un minimo è la matrice delle derivate seconde, per gli amici Hessiana ... e comunque, per favore, evitiamo i flames ... avevo già sottolineato come l'intervento di mind fosse eccessivamente sarcastico e del resto tutti voi sapete bene che (come ho già detto) l'uso dell'analisi è pesantemente penalizzato nelle competizioni olimpiche e quindi è un poco malvisto anche in questo forum, se compare nelle soluzioni di problemi elementari ...
Se vuoi saperne di più sulle funzioni a più variabili reali, chiedi un po' in matematica elementare ... se ho cinque minuti provo a risponderti io stesso...Inoltre, per le funzioni a due variabili non c'è più la retta tangente, ma il piano, il che complica orrendamente le cose. Ah, a proposito...

$ f(x,y)=x^3y^3+x^2+y^2+8xy $
le derivate parziali si annullano in (0,0)
le derivate parziali seconde sono
$ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x}=6xy^3+2\Rightarrow2 $
$ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 y}=6yx^3+2\Rightarrow2 $
$ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=9x^2y^2+8\Rightarrow+8 $
però ...
$ f(0,0)=0 $
$ f(-t,t)=-t^6-8t^2 $ che è sempre minore di 0 per ogni t positivo
$ f(t,t)=t^6+10t^2 $ che è sempre maggiore di 0 per ogni t positivo
e quindi questa, pur rispettando le ipotesi che tu hai aggiunto, non ha in (0,0) un minimo o un massimo, ma bensì il fratello più grando del flesso che si chiama punto di sella.

[fioweb]

Secondo voi, oltre al metodo suggerito da phi, per risolvere la seconda parte dell' esercizio, si sarebbe potuto imporre i vari delta minori di 1?
Cioè imporre che l differenza tra le due radici (che è, appunto la radice di delta) sia minore dell'unità?
In questo modo otterrei che la disequazione non è verificata per il maggior numero di reali possibile (sempre infinito comunque) ma valida per ogni intero.
E' una stupidata?

[HiTLeuLeR]

a) Trovare la più piccola costante a tale che $ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $ sia vera per ogni tutti gli x, y reali, per tale valore di a stabilire quando si ha uguaglianza

Completando i quadrati, si trova che $ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $ sse [1]: $ \displaystyle 8(3x - y)^2 + (2y - 3)^2 + 12a - 9 \ge 0 $, per ogni $ x, y \in \mathbb{R} $. Da qui banalmente $ a \ge 3/4 $, e l'uguaglianza è soddisfatta sse a=3/4, y=3/2 ed x=1/2.

b)Trovare la più piccola costante a tale che
$ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $
sia vera per ogni tutti gli x, y INTERI, per tale valore di a stabilire quando si ha uguaglianza.

L'espressione $ E(x,y) = 8(3x - y)^2 + (2y - 3)^2 $ è minimizzata sugli interi quando $ |3x-y|=0 $ oppure $ |3x-y| = 1 $, i.e. $ y = 3x \pm 1 $, poiché negli altri casi $ E(x,y) \ge 32 > E(1,3) = 9 $. Senonché $ E(x,3x) = (6x-3)^2 = 9(2x-1)^2 \ge 9 $, con uguaglianza sse x = 1 (e y = 3) oppure x = 0 (e y = 0); $ E(x,3x + 1) = 8 + (6x + 1)^2 \ge 9 $, con uguaglianza sse x = 0 (e y = 1); ed $ E(x,3x-1) = 8 + (6x-5)^2 \ge 8 $, con uguaglianza sse x = 1 (e y = 2). Tramite la [1], ne viene che $ 6x^2 + y^2 +a \ge 4xy +y $, per ogni $ x,y\in\mathbb{Z} $, sse $ a \ge 0 $, e l'uguaglianza sussiste sse $ a= 0 $ e $ (x,y) \in \{(0,0), (1,3), (0,1), (1,2)\} $.