parabola

[call]

Dimostrare che c\'è un asse di simmetria parellelo ad y per tutte le parabole che hanno come direttire una retta di equazione y=d e che esso passa per il fuoco F[addsig]

[N3o]

Siano F(x0,y0) il fuoco e y = d la direttrice. Per definizione, un punto P(x1,y1) appartiene alla parabola se e solo se è verificata la seguente condizione:
<BR>
<BR>(1) (x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 = |y0-d|^2
<BR>
<BR>Affinché x=x0 sia un asse di simmetria per la parabola, il punto simmetrico a P rispetto all\'asse, P\'(x2,y2), deve soddisfare la (1), e infatti, poiché si ha:
<BR>
<BR>x2 = 2x0 - x1 => x1 = 2x0 - x2
<BR>y2 = y1
<BR>
<BR>Sostituendo nella (1) si ha:
<BR>
<BR>(2x0-x2-x0)^2 + (y2-y0)^2 = |y0-d|^2
<BR>(x2-x0)^2 + (y2-y0)^2 = |y0-d|^2
<BR>
<BR>Dunque x=x0 è un asse di simmetria, che è parallelo all\'asse y e passa per F c.v.d.