Continuità+iniettività=monotonia ??

[NicolasBourbaki]

In fondo c'è già nel titolo: svolgendo un esercizio di analisi è emerso il problema seguente:
abbiamo una splendida funzione R->R continua ed iniettiva:possiamo provare che dev'essere monotona ? (chiaramente la monotonia sarà stretta..)
Il bello è che pare la cosa più ovvia del mondo....vediamo un po' se qualcuno mi illumina !
Grazie

[MindFlyer]

Beh... se non è monotona, senza perdere in generalità possiamo supporre che esistano x<y<z tali che f(x)<f(z)<f(y). Per la continuità ed il teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori strettamente compresi tra f(x) e f(y) nell'intervallo (x,y), ed in particolare il valore f(z), il che contraddice l'iniettività. Tutti gli altri casi, che si ottengono ordinando diversamente f(x), f(y), f(z) sono sostanzialmente identici.

[fur3770]

che vuol dire 'senza perdere in generalità'?

[EvaristeG]

Vuol dire "facciamo finta che è crescente, tanto se invece è decrescente basta cambiare tutti i segni delle disuguaglianze (f decresc---> -f crescente)".