Permuta, sottrai... ed eccoti un quadrato perfetto

[HiTLeuLeR]

Problema: determinare tutti gli interi positivi del tipo $ n = 10^2d_1 + 10 d_2 + d_3 $, con $ d_1, d_2, d_3 \in \{0, 1, \ldots, 9\} $ e $ d_1 \neq 0 $, per i quali esiste una permutazione $ (i_1, i_2, i_3) $ della terna $ (1, 2, 3) $ priva di punti fissi tale che $ n - (10^2 d_{i_1} + 10 d_{i_2} + d_{i_3}) $ è un quadrato perfetto $ > 0 $ e $ < 100 $.

[enomis_costa88]

Le sei permutazioni di 1,2,3 sono: 1,2,3;1,3,2;3,1,2;3,2,1;2,3,1;2,1,3 e tra queste le uniche senza punti fissi sono:3,1,2 e 2,3,1.

1)se la permutazione applicata è 3,1,2:
pongo q il quadrato cercato. $ q= 10^2d_1+10d_2+d_3-10^2d_3-10d_1-d_2 $ e quindi essendo 0<q<100 $ d_1=d_3 $ oppure $ d_1=d_3 +1 $
se $ d_1=d_3 $ ottengo: $ 10d_2+d_1-10d_1-d_2=q $ quindi $ 9(d_2-d_1)=q $ e $ d_2-d_1=1;4;9 $ (perchè q è un quadrato perfetto e q<100). il valore 9 non è però accettabile in quanto $ d_1 \not =0 $.
se $ d_1=d_3+1 $ ottengo $ 9(10+d_2-d_3)=q ; 10+d_2-d_3= 1;4;9 $ da cui i valori di $ (d_2;d_3):(0;9 $ coppia però non accettabile perchè $ d_1 \not = 10 )(d_2;6+d_2)(d_2;1+d_2) $ sempre con $ d_1=d_3+1 $ .

2)la permutazione applicata è 2,3,1.
$ q= 10^2d_1+10d_2+d_3-10^2d_2-10d_3-d_1 $. ancora come prima ottengo $ d_1=d_2 $ oppure $ d_1=d_2+1 $
se $ d_1=d_2 $ ottengo (a calcoli svolti..) $ 9(d_1-d_3)=q $ e quindi $ d_1-d_3=1;4;9 $. e $ d_1=1+d_3;d_1=4+d_3;d_1=9 , d_3=0 $
se $ d_1=1+d_2 $ ottengo $ 99+9d_2-9d_3=q=9(11+d_2-d_3); 11+d_2-d_3=1;4;9 $ ma $ 11+d_2-d_3=1 $ non è accettabile perchè vorrebbe dire $ 10+d_2=d_3 $ ; sono accettabili invece le coppie $ (d_2;d_3):(d_2;7+d_2)(d_2;2+d_2) $

e ora non resta che elencare tutte le soluzioni...(un secondo e lo faccio..)

le terne $ d_1,d_2,d_3 $ soluzione risultano essere:con la prima permutazione:$ (d_1;d_1+1;d_1)(d_1;d_1+4;d_1)(d_2+7;d_2;d_2+6)(d_2+2;d_2;d_2+1) $ applicando la seconda permutazione risultano le seguenti:$ (d_3+1;d_3+1;d_3) $$ (d_3+4;d_3+4;d_3) $(9;9;0)(1+d_2;d_2;7+d_2) $ (1+d_2;d_2;2+d_2) $ .

ancora un'attimo e rispondo con i valori di n..

con la prima permutazione 121,232,343,454,565,676,787,898;151,262,373,484,595;706,817,928;201,312,423,534,645,756,867,978;

con la seconda permutazione: 110,221,332,443,554,665,776,887,998;440,551,662,773,884,995;990;107,218,329;102,213,324,435,546,657,768,879;

spero di non avere perso dei valori per strada.. Buona (tarda) serata Simone

[HiTLeuLeR]

[...] le terne $ d_1,d_2,d_3 $ soluzione risultano essere:con la prima permutazione:$ (d_1;d_1+1;d_1)(d_1;d_1+4;d_1)(d_2+7;d_2;d_2+6)(d_2+2;d_2;d_2+1) $ applicando la seconda permutazione risultano le seguenti:$ (d_3+1;d_3+1;d_3) $$ (d_3+4;d_3+4;d_3) $(9;9;0)(1+d_2;d_2;7+d_2) $ (1+d_2;d_2;2+d_2) $.

Ok, Simone, ottimo lavoro! Giusto per voler fare il lezioso, però, lasciami dire che, come principio generale, quando esprimi (come hai fatto) le soluzioni di un dato problema in forma parametrica, allora devi pure specificare per ognuna il range di variabilità del/i parametro/i, altrimenti il tutto serve a poco, ok?

[...] con la prima permutazione 121,232,343,454,565,676,787,898;151,262,373,484,595;706,817,928;201,312,423,534,645,756,867,978;

con la seconda permutazione: 110,221,332,443,554,665,776,887,998;440,551,662,773,884,995;990;107,218,329;102,213,324,435,546,657,768,879 [...]

Mamma mia, che pazienza devi aver avuto... Ma d'altra parte anche questa è degna di lode!