Una somma trigonometrica
Moderatore: tutor
Colgo il suggerimento e completo...
<BR>
<BR>tg(alfa)=-2cot(2*alfa)+cot(alfa)
<BR>cambiando l\'angolo alfa in alfa/2 o qualcosa di simile e moltplicando entrambi i membri escono fuori identità da usare nei calcoli...
<BR>
<BR>-->2*ctg(2a)+tg(a)=ctg(a)
<BR>
<BR>f(2)=ctg(a)+1/2*tg(a/2)=1/2*ctg(a/2)
<BR>f(3)=f(2)+1/4*tg(a/4)=1/4*ctg(a/4)
<BR>
<BR>per induzione si provà che
<BR>
<BR>f(n)=[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1))
<BR>
<BR>esprimendo la ctg come rapporto tra seno e coseno il limite per n-->inf diventa l\'inverso di questo:
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n
<BR>
<BR>ma è
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)/[a/2^n] =1
<BR>limite notevole
<BR>cioè
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n = lim[n-->inf]a = a
<BR>
<BR>il risultato è quindi 1/alfa...
<BR>
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR>
<BR>p.s.:Se è corretto, nn era certo un IMO ma solo un esercizio molto carino!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 21-12-2004 21:52 ]
<BR>
<BR>tg(alfa)=-2cot(2*alfa)+cot(alfa)
<BR>cambiando l\'angolo alfa in alfa/2 o qualcosa di simile e moltplicando entrambi i membri escono fuori identità da usare nei calcoli...
<BR>
<BR>-->2*ctg(2a)+tg(a)=ctg(a)
<BR>
<BR>f(2)=ctg(a)+1/2*tg(a/2)=1/2*ctg(a/2)
<BR>f(3)=f(2)+1/4*tg(a/4)=1/4*ctg(a/4)
<BR>
<BR>per induzione si provà che
<BR>
<BR>f(n)=[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1))
<BR>
<BR>esprimendo la ctg come rapporto tra seno e coseno il limite per n-->inf diventa l\'inverso di questo:
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n
<BR>
<BR>ma è
<BR>
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)/[a/2^n] =1
<BR>limite notevole
<BR>cioè
<BR>lim[n-->inf] sen(a/2^n)*2^n = lim[n-->inf]a = a
<BR>
<BR>il risultato è quindi 1/alfa...
<BR>
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR>
<BR>p.s.:Se è corretto, nn era certo un IMO ma solo un esercizio molto carino!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 21-12-2004 21:52 ]
@Info.
<BR>Risultato esatto;volendo, il limite si puo\' ottenere
<BR>direttamente osservando che:
<BR>[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1)) =1/a*[a/2^(n-1)/tg(a/2^(n-1))]
<BR>e poi ricorrere al limite noto lim[x-->0]x/tgx=1
<BR>dove ,nel nostro caso,x sta per a/2^(n-1).
<BR>ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-12-2004 19:06 ]
<BR>Risultato esatto;volendo, il limite si puo\' ottenere
<BR>direttamente osservando che:
<BR>[1/2^(n-1)]*ctg(a/2^(n-1)) =1/a*[a/2^(n-1)/tg(a/2^(n-1))]
<BR>e poi ricorrere al limite noto lim[x-->0]x/tgx=1
<BR>dove ,nel nostro caso,x sta per a/2^(n-1).
<BR>ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-12-2004 19:06 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-21 21:45, info wrote:
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ciao. Buon Natale a tutti...
<BR>
<BR>Una serie telescopica è una serie in cui un termine cancella il preedente (o parte del precedente. Questo consente di semplificare i conti e, spesso, di sommare la serie.
<BR>
<BR>Esempio:
<BR>
<BR>Dimostrare che
<BR>sum<sub>n >= 1 </sub> 1/n(n+1) = 1.
<BR>
<BR>Dim.: <font color=white>Se scrivi 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1), allora la somma parziale fino a N è
<BR>(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/N - 1/(N+1)) = 1 - 1/N.
<BR>
<BR>Facendo tendere N all\'infinito, si ottiene 1. </font> []
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
<BR>On 2004-12-21 21:45, info wrote:
<BR>Ora mi spiegate cosa è una serie telescopica?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ciao. Buon Natale a tutti...
<BR>
<BR>Una serie telescopica è una serie in cui un termine cancella il preedente (o parte del precedente. Questo consente di semplificare i conti e, spesso, di sommare la serie.
<BR>
<BR>Esempio:
<BR>
<BR>Dimostrare che
<BR>sum<sub>n >= 1 </sub> 1/n(n+1) = 1.
<BR>
<BR>Dim.: <font color=white>Se scrivi 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1), allora la somma parziale fino a N è
<BR>(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/N - 1/(N+1)) = 1 - 1/N.
<BR>
<BR>Facendo tendere N all\'infinito, si ottiene 1. </font> []
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 21:25, marco wrote:
<BR>sum<sub>n >= 1 </sub> 1/n(n+1) = 1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Detta anche serie di Mengoli. Così, giusto per informazione. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>On 2004-12-24 21:25, marco wrote:
<BR>sum<sub>n >= 1 </sub> 1/n(n+1) = 1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Detta anche serie di Mengoli. Così, giusto per informazione. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Tanto per gradire ve ne piazzo un\'altra (che dovrebbe
<BR>essere facile per chi ...ha buona memoria!)
<BR>Dimostrare (senza l\'ausilio delle calcolatrici,of course) che si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>1/cos<sup>2</sup>(2*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(4*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(6*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(8*Pi/9)=40</B><!-- BBCode End -->
<BR>essere facile per chi ...ha buona memoria!)
<BR>Dimostrare (senza l\'ausilio delle calcolatrici,of course) che si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>1/cos<sup>2</sup>(2*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(4*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(6*Pi/9)+1/cos<sup>2</sup>(8*Pi/9)=40</B><!-- BBCode End -->