Sommatoria fattoriali

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Salve a tutti, mi serve un aiutino, come si può calcolare la seguente somma?
 
 1! + 2! +...+ (n-1)! + n!
 
 Non riesco a trovare neppure una mezza buona idea <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> !
 
 Grazie...

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

1!+2!+...+n! = !n
 
 
 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! è più bello [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 26-07-2004 22:53 ]

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

A parte questo, esiste un metodo generale per passare dalle successioni alle serie?

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate, ma non ho ben capito dove sarebbe la soluzione al mio quesito...
 
 Che quella di ReKaio sia più bella OK, ma il nesso?
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 26-07-2004 23:32 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 26-07-2004 23:32 ]

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Rilancio nuovamente il problema (per l\'ultima volta, tranquilli), nella speranza che qualche gentil anima me lo risolva...
 
 
 1! + 2! +...+ (n-1)! + n! = ?
 
 Danke...

federichlet · Messaggio da **federichlet** » 01 gen 1970, 01:33

Oilà 900,
 potrebbe essere un\'idea esprimere i fattoriali della somma in termini di coefficienti binomiali per cui -> S(n) = n! ( 1/C n,1 + 1/2! C n,2 + 1/3!C n,3 ...) e poi cercare la funzione di cui l\'espressione in parentesi potrebbe essere lo sviluppo in serie di Taylor in h tale che, esplicitando i binomiali e semplificando, è f(x+h) = 1/n + 2!/n(n-1) + 3!/n(n-1)(n-2)... Avendo assunto qui h = n, x=1. Si possono usare i primi 2 termini dello sviluppo per trovare l\'approssimazione alla funzione mediante il calcolo della equazione differenziale corrispondete. Il tutto ... ammesso che sia legittimo assumere lo sviluppo della ipotizzata f(n) assumendo h=n. Mah, di certo \"n\" non è d\'ordine infinitesimo (sig!). Comunue è sempre un\'idea ... o no?
 L\'eq diff che si ottiene è y(n)\'+y(n) = (1/n) * (1+2/n-1) --> come si risolve??? (diff ancora e addizionando, così da avere una eq associata di secondo grado? da cui la forma y(n) = A exp(p*n) + B exp (q*n)...con p e q radici dell\'equazione? ) ... non so se anch\'io devo fare qualche lacrimuccia ...a questo punto. Dimmi almeno se ti è venuta qualche idea ... collaterale, in base a quanto ti propongo ...
 ciao
 
 F. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Uhm... Ingegnere? Fisico???

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, Novecento, come dico di solito di fronte a problemi come questo, la richiesta secondo me non ha alcun senso, o andrebbe precisata. Cosa intendi per \"calcolare\"? Alla tua domanda potrei risponderti definendo la somma ed il fattoriale, ma presumibilmente questo non ti soddisferebbe.
 Anche richiedere di esprimere in \"forma chiusa\" la sommatoria servirebbe a poco, perché basterebbe introdurre un nuovo simbolo che la sintetizzi (come ha fatto ReKaio), e la cosa non ti soddisfa.
 
 Ti consiglio di fare qualche esperimento con valori piccoli di n, e di congetturare un\'uguaglianza che ti soddisfi, dopodiché cercare di dimostrare quella.
 
 Ad esempio, la sommatoria proposta da ReKaio è uguale a (n+1)!-1, puoi dimostrarlo per induzione. E questo diciamo che è un modo più \"soddisfacente\" di scriverla, se ci piace di più dell\'altro.
 
 Se vuoi il mio parere, e se ho capito bene quello che vuoi sentirti rispondere, non esiste una formula per esprimere in modo più \"soddisfacente\" quella sommatoria di fattoriali. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 17-08-2004 17:48 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

già, credo anch\'io
 
 sarebbe molto carino in effetti che esistesse una formula chiusa per quella sommatoria, ma mi sembra molto improbabile

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> (mi ero un pò abbattuto che nessuno rispondesse...)
 
 Purtroppo questo famoso Taylor non lo conosco quindi, federichlet, non saprei cosa dirti...
 
 Del resto, Mind, il problema nasce dal fatto che non sapevo non esistesse una \"forma chiusa soddisfacente\" per esprimere la sommatoria (nota che se avessi scritto: \"calcolare 1+2+3+...n\" la risposta sarebbe giunta in pochi secondi), quindi pazienza e grazie per i chiarimenti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Novecento, non ti crucciare, non mi pare che il metodo proposto da federichlet porti a qualcosa di utile.
 Primo perché, se ho capito bene quello che asserisce, n! dovrebbe essere uguale alla somma dei reciproci dei coefficienti binomiali, cosa chiaramente falsa... ma questo non importa, tanto quella formula non viene più usata.
 Secondo perché, trovandosi di fronte ad una nuova sommatoria, ancora più complicata da sbrogliare, decide di troncare ai primi 2 termini, senza pensare che questo equivale a calcolare (n-1)!+(n-2)!. La quale a parer mio è già in forma chiusa (anche senza lanciarsi in improbabili equazioni differenziali), ma naturalmente non risolve il problema perché è solo un\'approssimazione della sommatoria.
 
 federichlet, se ho capito male qualche parte del tuo messaggio, mi scuso.

federichlet · Messaggio da **federichlet** » 01 gen 1970, 01:33

Ri-oilà!
 Chi cerca trova ... anche se risolto da altri. Ecco il link dove è pubblicata la formula che cerchi <a href="http://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html" target="_blank" target="_new">http://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html</a> - Buona \"visione\". <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 Comunque complimenti per saper porre problemini semplici semplici ... eh eh
 
 F.

federichlet · Messaggio da **federichlet** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao,
 ho visto il tuo messaggio dopo aver scritto a Novecento la soluzione (trovata da altri!!!).
 Per quanto poco possa servire ora, ... sì hai frainteso un pochino. Non vanno sommati gli inversi dei fattoriali dello sviluppo dell\'ipotetica funzione (che a quanto pare esiste visto che è stata trovata eh eh); questi, infatti, sono i fattori derivanti dalla trasformazione di Taylor (di qualsiasi funzione). Nemmeno lo sviluppo va \"sommato\". Esso equivale, piuttosto, ad un\'approssimazione della funzione che si cerca, e di solito i primi due termini (se la serie dei termini dello sviluppo è convergente) bastano ad ottenerla (cfr. quel che si fa per la Gaussiana partendo dalla Binomiale). Insomma dal calcolo di una somma (degli n!), avrei inteso passare al calcolo di una funzione (in n). Per questo c\'è da risolvere un\'eq differenziale di primo grado non omogenea.
 Il procedimento però usa qualche artificio - identifica e somma i termini corrispondenti dello sviluppo y = 1/n y\'= 2!/n(n-1)... y\'\'\' = 3!/(n/n-1)(n-2) + ... E\' sulla legittimità di questo passaggio che ho dei dubbi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> In ogni caso sarei contento se qualcuno mi aiutasse a risolvere l\'eq diff. che ottengo.
 Ciao ciao ci si risente? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Mah... sarò un tradizionalista, ma riscrivere la somma dei fattoriali con una formula che, in ultima istanza, è fatta da integrali, non mi pare il massimo!
 Ma se Novecento è soddisfatto, niente da dire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, ringrazio federichlet per aver aver scovato quella pagina, anche se scritta con gli integrali non dice molto...in compenso le altre sommatorie presenti sono piuttosto curiose (non che sia un appassionato del genere, semplicemente c\'era un problema in cui mi serviva la somma dei primi sei fattoriali e non mi piace fare conti)... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Ciao...