Disugag

[andrea84]

Siano x,y,z reali positivi dimostrare che:
<BR>
<BR>(x^2+y^2)(z^2+y^2)(z^2+x^2)>=8/27 xyz(x+y+z)^3
<BR>
<BR>Ciao

[ma_go]

thanks to EvaristeG again...
<BR>allora, applichiamo la disuguaglianza tra media quadratica e media aritmetica a sinistra.
<BR>dopodiché, sostituiamo a=x+y, b=y+z, c=z+x. a,b,c saranno ora i lati di un triangolo, e quindi
<BR>x+y+z = (a+b+c)/2 = p,
<BR>x = (a+c-b)/2 = p-b, y = (a+b-c)/2 = p-c, z = (b+c-a)/2 = p-a.
<BR>ma allora xyz(x+y+z) = S²
<BR>a questo punto, riscriviamo il tutto come 27a²b²c² >= 8S²p².
<BR>ma possiamo dire a = 2RsenA, b = 2RsenB, c = 2RsenC, con A+B+C = pi.
<BR>otteniamo quindi senA+senB+senC <= (3/2)*sqrt3, che si ottiene con jensen (tanto per fare un po\' i fighi).
<BR>infatti la funzione seno è concava, e
<BR>(senA + senB + senC)/3 <= sen((A+B+C)/3), che dà la disuguaglianza cercata...

[andrea84]

Rilancio:
<BR>
<BR>x>=y>=z>0
<BR>dimostrare che:
<BR>
<BR>x^2 y/z+y^2 z/x+z^2 x/y>=x^2+y^2+z^2
<BR>
<BR>
<BR>ciao

[MASSO]

moltiplico tutto per xyz ed otengo:
<BR>x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2 >= x^3(yz) +y^3(zx) +z^3(xy)
<BR>e poi siccome è omogenea applico il Bauching (non so assolutamente come si scriva ma spero sia giusto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> )

[talpuz]

MASSO, si scrive bunching, e mi dispiace dirti che non puoi applicarlo in quel caso, perchè la somma che hai a sinistra non è simmetrica (mancano tre termini)
<BR>
<BR>probabilmente serve il riarrangiamento in quella lì
<BR>
<BR>(la prima proposta da Andrea, invece, si faceva anche con il buncing, perchè entrambi i membri sono simmetrici in x,y,z)

[talpuz]

anzi, normalizzando sembra che venga + facile
<BR>tanto per fare i phi(ghi) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>(vi lascio i dettagli)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-06-2004 20:59 ]

[andrea84]

che intendi con normalizzando???

[karl]

Ecco la mia sol.per la seconda diseg.
<BR>Sia:
<BR>U=x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2 - x^3(yz) -y^3(zx) -z^3(xy)
<BR>Essendo x>=y>=z>0 ,pongo:
<BR>x=z+a,y=z+b con a>=b>=0 e sostituendo:
<BR>U=[(z+a)^3*(z+b)^2]+[z^2*(z+b)^3]+[z^3*(z+a)^2]-[z(z+a)^3*(z+b)]-
<BR>-[z(z+a)(z+b)^3]-[z^3*(z+a)(z+b)]
<BR>e riducendo (...magari con Derive).,si ottiene:
<BR>U=(a^2 -ab +b^2)z^3 +3a^2 *b*z^2+ab(a^2+3ab-b^2)z +a^3 *b^2
<BR>Ora ,essendo z>0,a>=b>=0,e\' certamente U>=0.
<BR>c.d.d.
<BR>
<BR>
<BR>

[andrea84]

provare questa:
<BR>
<BR>
<BR>a,b,c >=1
<BR>
<BR>sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)<=sqrt(c(ab+1))
<BR>
<BR>ciao

[talpuz]

con \"normalizzando\" intendevo + o - quello che ha fatto karl, solo che, poichè U è omogenea di 2° grado, puoi comodamente porre z=1, semplificandoti un po\' i calcoli <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[karl]

Premessa:
<BR>se a,b,c,d>=0 allora e\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>(*) sqrt[(a+b)(c+d)]>=sqrt(ac)+sqrt(bd) </B><!-- BBCode End -->
<BR>Infatti elevando al quadrato si ha:
<BR>ac+ad+bc+bd>=ac+bd+2sqrt(abcd)
<BR>ed elevando ancora :
<BR>(ad+bc)^2>=4abcd od anche:
<BR>(ad-bc)^2>=0 che e\' vera.
<BR>Cio\' scritto ,poniamo
<BR>sqrt(a-1)=x,sqrt(b-1)=y,sqrt(c-1)=z con x,y,z>=0.
<BR>Avremo :
<BR>x+y+z<=sqrt([(1+x^2)(1+y^2)+1][1+z^2]) oppure per la (*):
<BR>x+y+z<=sqrt([(1+x^2)(1+y^2)+1][1+z^2]) >=sqrt([1+x^2][1+y^2])+z
<BR>Pertanto la nostra diseg. e\' dimostrata se risulta:
<BR>x+y<=sqrt([1+x^2][1+y^2]) ,che effettivamente e\' vera perche\'
<BR>elevando al quadrato si ottiene:
<BR>x^2+y^2+2xy<=1+x^2+y^2+x^2*y^2 cioe\':
<BR>(xy-1)^2>=0 .
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 17-06-2004 18:48 ]

[andrea84]

Dim che
<BR>
<BR>a/b+b/c+c/a>=(a+b)/(a+c)+(b+c)/(b+a)+(a+c)/(b+c) con a.b.c>0
<BR>
<BR>Ciao