RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
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RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Dato un triangolo acutangolo $ABC$ di circocentro O, dimostrare che i simmetrici rispetto ai lati del circocentro $O_1$, $O_2$ e $O_3$ e i tre vertici $A$, $B$ e $C$ appartengono allo stesso ellisse; dimostrare inoltre che se il triangolo fosse ottusangolo, allora i sei punti appartengono alla stessa iperbole
εάν διαβάζετε αυτήν την υπογραφή και είστε ένα όμορφο κορίτσι, δείξτε μου πόσο έξυπνος είστε: Βρείτε μου!
αν ψάχνετε για την έννοια αυτής της φράσης τότε σπαταλάτε το χρόνο σας επειδή δεν έχει το παραμικρό νόημα
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Dai ci provo. Chiaramente mi basta mostrare che stanno sulla stessa conica: è evidente che questa conica sarà un'ellisse nel caso acutangolo e una parabola nel caso ottusangolo. Quando è rettangolo boh, succedono cose brutte, ma credo sia comunque una conica (due rette parallele sono una conica se non sbaglio).
$A=[1:0:0]$ e $B=[0:1:0]$ e $C=[0:0:1]$ e $O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C]$ come al solito. Devo riflettere $O$ rispetto ai tre lati, quindi rispetto ai punti medi dei lati. Punto medio di $BC$ è $M_A=[0:1:1]$ e cicliche. Quindi $O_A$ (la riflessione di $O$ wrt $BC$) sarà $2M_A-O$, con le coordinate normalizzate. Per normalizzare moltiplico quelle di $M_A$ per $S^2/2$. Ho quindi
\[O_A=[-a^2S_A:a^2S_A+c^2S_C:a^2S_A+b^2S_B]\]
e cicliche. I sei punti $A$, $B$, $C$, $O_A$, $O_B$ e $O_C$ stanno ovviamente sulla conica
\[a^2S_A(b^2S_B+c^2S_C)yz+b^2S_B(c^2S_C+a^2S_A)zx+c^2S_C(a^2S_A+b^2S_B)xy,\]
come volevasi dimostrare.
$A=[1:0:0]$ e $B=[0:1:0]$ e $C=[0:0:1]$ e $O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C]$ come al solito. Devo riflettere $O$ rispetto ai tre lati, quindi rispetto ai punti medi dei lati. Punto medio di $BC$ è $M_A=[0:1:1]$ e cicliche. Quindi $O_A$ (la riflessione di $O$ wrt $BC$) sarà $2M_A-O$, con le coordinate normalizzate. Per normalizzare moltiplico quelle di $M_A$ per $S^2/2$. Ho quindi
\[O_A=[-a^2S_A:a^2S_A+c^2S_C:a^2S_A+b^2S_B]\]
e cicliche. I sei punti $A$, $B$, $C$, $O_A$, $O_B$ e $O_C$ stanno ovviamente sulla conica
\[a^2S_A(b^2S_B+c^2S_C)yz+b^2S_B(c^2S_C+a^2S_A)zx+c^2S_C(a^2S_A+b^2S_B)xy,\]
come volevasi dimostrare.
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Benissimo, ora la seconda parte del problema, dato un triangolo qualsiasi $ABC$, quanti sono al massimo i punti tali che i tre vertici ed i simmetrici rispetto ai lati giacciono sulla stessa conica?
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Ma sbaglio o per qualsiasi punto $P=[p:q:r]$ la conica
\[p(q+r)yz+q(r+p)zx+r(p+q)xy\]
va bene?
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Hai fatto una considerazione che per il primo punto è corretta, ma sfortunatamente non vale per il secondo
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Comunque ho capito dove ho sbagliato (e te l'ho detto pure di persona al Senior). Ho fatto le riflessioni rispetto al punto medio del lato e non al lato. Quando ho tempo farò i conti giusti.Neottolemo ha scritto: ↑02 set 2017, 10:44 Hai fatto una considerazione che per il primo punto è corretta, ma sfortunatamente non vale per il secondo
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Al senior mi è giunta voce che esistono delle idee per farlo in sintetica
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
Cosa vuol dire sintetica?Neottolemo ha scritto: ↑10 set 2017, 16:16 Al senior mi è giunta voce che esistono delle idee per farlo in sintetica
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Re: RIFLESSIONE DEL CIRCOCENTRO
La sintetica est una absurda teoria nella quale si pensa di poter fare li problemi senza l'uso di conti alcuni
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