Tratto da una vendetta malvagia servita fredda

[Gottinger95]

Siano \(n,k \in \mathbb{N}_0\) con \(n\) composto e libero da quadrati, e sia \(p= gpf(n)\) (il primo più grande). Calcolare
\[ \frac{p^k!}{n^s} \pmod{n} \]
dove \(s= V_p(p^k!)\).

BONUS:
1. E per un qualsiasi \(t \le s\)?
2. E se \(p \mid n\) ma \(p \neq gpf(n)\)? (la definizione di \(s\) rimane però con il \(gpf(n)\) ).

[Gottinger95]

Forza signori, provate! E' un buon problema, che usa lo stesso principio di

Testo nascosto:

"come faccio a calcolare l'esponente con cui un certo primo divide n fattoriale?"

[matpro98]

Ho provato a trovarlo ma non ci sono riuscito... cosa vuol dire V_p ?

[Drago96]

$ v_p (n) $ è l'esponente di $ p $ (un primo) nella fattorizzazione di $ n $; ad esempio $ v_2 (8)=3 $ oppure $ v_5 (15)=1 $, o $ v_7 (3)=0 $. In particolare se noi consideriamo il numero $\displaystyle\frac n {p^{v_p (n)}} $ vuol dire "togli a $ n $ tutti i fattori $ p $"

[matpro98]

Grazie

[matpro98]

Dato che mi interessa, non c'è nessuno che lo risolve o almeno da un aiuto?

[wall98]

$ p= gpf(n) $ sarebbe il primo piu grande minore di $ n $ o il primo maggiore di $ n $ e minore di tutti gli altri $ p_i>n $?

[fph]

"Greatest prime factor", il primo più grande che divide $n$. Per esempio $\operatorname{gpf}(12)=3$ e $\operatorname{gpf}(37)=37$.

$\operatorname{gpf}(1)$ non so bene come si definisce, forse $0$ (ma in ogni caso non serve, era solo un'osservazione per sport).

(nota anche come "la funzione grande puffo")

[wall98]

Ma c'è una soluzione bella o si cerca un risultato in stile produttoria?

Edit: comunque se la soluzione è la produttoria, dovrebbe essere:

Consideriamo un generico primo $ p_i \le P $ che divide $ n $, esso compare in $ p^k! $ con esponente $ \displaystyle [\frac{p^k}{p_i}]+[\frac{p^k}{p_i^2}]+[\frac{p^k}{p_i^3}]+.. $.

Quindi noi cerchiamo $ \displaystyle \prod^m_{i=1} p_i^{r_i} \pmod n $ con $ \displaystyle r_i=[\frac{P^k}{p_i}]+[\frac{P^k}{p_i^2}]+[\frac{P^k}{p_i^3}]+..-([\frac{P^k}{P}]+[\frac{P^k}{P^2}]+[\frac{P^k}{P^3}]..) $ da cui $ \displaystyle r_i=[\frac{P^k}{p_i}]+[\frac{P^k}{p_i^2}]+[\frac{P^k}{p_i^3}]+..-\frac{P^k-1}{P-1} $.

Che come risultato è un po' bruttino, a questo punto ho il dubbio di aver sbagliato qualcosa..