Cilindri e pranzo

[karlosson_sul_tetto]

(Da kvant)
Alberto* vuole preparare del riso per pranzo; cosi prende una pentola cilindrica e ci mette la guantità di riso che vuole cuinare. Allora và dalla sua vicina, la zia Lisa, per chiederle quanta acqua deve mettere. La zia Lisa gli dice:- Io faccio sempre osi, se ho una pentola cilindrica: si deve mettere la pentola in obliquo** in modo che il riso occupi la metà della base del cilindro**.Con un dito, segna la posizione che il riso ha raggiunto lungo il lato della pentola**. E' fin lì che devi versare l'acqua per ottenere un pasto buono-. Alberto dice:- Mà la quantità di riso può variare e le pentole cilindirche possono essere sempre larghe o strette!-. -Vedrai che la proporzione tra riso e acqua sarà sempre la stessa!- rispose con orgoglio zia Lisa.

a)Dimostrare che zia Lisa ha ragione: cioè che la proporzione tra riso e acqua è sempre la stessa.
b)Qual è questa proporzione?



Buona risoluzione!




P.S:Ma anche questo anava qua o in algebra?



*
Tanto per far uscire Alberto dalla combinatoria XD.

**
Come nell'allegato.

[Tibor Gallai]

Vedi anche:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/download.php?id=53
Gara del pubblico 2003, problema 20.

[karlosson_sul_tetto]

Vedi anche:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/download.php?id=53
Gara del pubblico 2003, problema 20.

Assomiglia un pò, ma non è la stessa cosa.

[Tibor Gallai]

E' precisamente lo stesso problema.
Nota che il tuo solido, opportunamente scalato, è l'ottava parte del solido della gara del pubblico 2003.
Ed anzi, una soluzione molto elegante del tuo problema passa proprio per quell'altro solido.

[minima.distanza]

ecco, appunto, qualcuno mi sa spiegare come si risolvono questo genere di problemi ?? non mi viene in mente nulla....

[Tibor Gallai]

Col principio di Cavalieri.

[karlosson_sul_tetto]

E' precisamente lo stesso problema.
Nota che il tuo solido, opportunamente scalato, è l'ottava parte del solido della gara del pubblico 2003.
Ed anzi, una soluzione molto elegante del tuo problema passa proprio per quell'altro solido.

Mi scuso...

[dario2994]

Uhm io provo, ma dato il risultato e le cannonate usate penso sia sbagliata la soluzione...
Mi viene che il rapporto $ $Acqua/riso=\frac{3\pi -2}{2} $, che è il tipico rapporto richiesto da ogni buon ricettario xD
Allora chiamo V il volume del riso, r il raggio del cilindro, h l'altezza raggiunta prima di essere inclinato e k l'altezza a cui il riso arriva dopo essere inclinato.
Fatto 1: se con un certa unità di misura il rapporto non cambia cambiandola non cambia di certo... quindi assumo che il cilindro abbia raggio 1.
Fatto 2: Perciò vale
$ V=h\pi $
Fatto 3: Una volta inclinato il cilindro pongo l'asse delle x del piano cartesiano sulla base passante per il centro e per la proiezione del punto più alto raggiunto dal riso sulla base. L'asse y lo piazzo nel centro e ortogonale alla base.
Fatto 4: Se traccio un piano ortogonale all'asse x passante per (x,0) con x<=1 questo seziona il riso in un rettangolo... che ha altezza kx (ovvio) e base $ $2\sqrt{1-x^2} $ per Pitagora. Quindi l'area del rettangolo vale $ $2kx\sqrt{1-x^2} $
Fatto 5: Per un motivo a me ignoto (formalmente non saprei giustificarlo molto...) ma molto credibile l'integrale di $ 2kx\sqrt{1-x^2} $ in x da 0 a 1 da proprio il volume del riso e quindi:
$ $\int_0^12kx\sqrt{1-x^2}=V=h\pi $
Fatto 6: svolgendo un poco i conti si arriva a:
$ $2k\int_0^1x\sqrt{1-x^2}=h\pi $
L'integrale è chiaramente costante al variare di h o k perciò lo chiamo I... da cui vale:
$ $k=h\frac{\pi}{2I} $
Fatto 7: Raddrizzo il cilindro... verso l'acqua fino ad arrivare a $ $h\frac{\pi}{2I} $ Ora... l'acqua ha riempito tanto volume quanto quello del cilindro ipotetico che esisteva prima che venisse versata l'acqua tra l'altezza del riso e k... questo volume equivale a $ $(k-h)\pi $.
Fatto 8: Il rapporto acqua/riso è quindi
$ $\frac{(k-h)\pi}{h\pi}=\frac{h\frac{\pi}{2I}-h}{h}=\frac{\pi}{2I}-1=\frac{\pi-2I}{2I} $
Che è una costante come si voleva mostrare.

Ora non resta che valutare I per rispondere anche a b)... c'ho provato un po ma non ci sono riuscito. Perciò ho chiesto aiuto a Wolfram Alpha che sostiene che $ $I=\frac{1}{3} $... sostituendo nella formula viene il risultato che ho detto all'inizio.

[Haile]

Ora non resta che valutare I per rispondere anche a b)... c'ho provato un po ma non ci sono riuscito. Perciò ho chiesto aiuto a Wolfram Alpha che sostiene che $ $I=\frac{1}{3} $... sostituendo nella formula viene il risultato che ho detto all'inizio.

Non si dovrebbe usare l'analisi, ma a questo punto tanto vale concludere

$ $ \int f'(x) \big[f(x)\big]^{\alpha} \; \mathrm{d}x = \frac{\big[f(x)\big]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} $

Allora

$ $ \int x \sqrt{1-x^2} \; \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int -2x \sqrt{1-x^2} \; \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3/2} = -\frac{(1-x^2)^{3/2}}{3} $

Valutato tra 0 ed 1 dà 1/3

[Tibor Gallai]

Fatto 5: Per un motivo a me ignoto (formalmente non saprei giustificarlo molto...) ma molto credibile

Come definisci "volume"?

Ora non resta che valutare I per rispondere anche a b)... c'ho provato un po ma non ci sono riuscito. Perciò ho chiesto aiuto a Wolfram Alpha

[dario2994]

Non ne ho idea di come definire il volume... forse per definizione equivale a quell'integrale? Nel senso che il volume si definisce proprio con gli integrali... boh

Giusto per curiosità, come si giustifica il cambio di variabile nell'integrale? (quello che manda x in u)

[Tibor Gallai]

Non ne ho idea di come definire il volume... forse per definizione equivale a quell'integrale? Nel senso che il volume si definisce proprio con gli integrali... boh

In generale il volume è un integrale.

Giusto per curiosità, come si giustifica il cambio di variabile nell'integrale? (quello che manda x in u)

Si giustifica come l'ha giustificato Haile. I due metodi coincidono.
Volendo fare le cose a modo, lo giustifichi con il teorema fondamentale del calcolo integrale.


Torniamo nell'elementare? C'è da trovare una soluzione senza integrali. Poco sopra ho dato dei suggerimenti.