Problemino

[CavalloPazzo]

Si consideri un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=2r ed avente per base maggiore il segmento AB. Quand\'è che l\'area di questo trapezio è massima???
<BR>
<BR>
<BR>voi come lo risolvereste??
<BR>
<BR>IO ho usato gli assi cartesiani e ci sono riuscito tranquillamente, dite la vostra!

[massiminozippy]

Forse quando il trapezio è isoscele.

[publiosulpicio]

Se scrivi la funzione che esprime l\'area trovi che il valore massimo si ha per un trapezio uguale a mezzo esagono regolare, cioè con i lati obliqui e la base minore tutti uguali a metà della base maggiore, quindi uguali a r. Non ho voglia di scrivere la dimostrazione, ma non è difficile, con un po\' di analisi.
<BR>Piuttosto non è che qualcuno ha voglia di provare a farla in maniera elementare? Sarebbe piuù interessante...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 21-03-2003 18:18 ]

[mola6]

per me senza buttar giù niente è quando è un rettangolo,non so...

[AleX_ZeTa]

ricky che intendi x maniera + elementare?

[DD]

A=r^2(sin a +sin b +sin c), dove a,b,c sono gli angoli al centro che sottendono i lati la base minore, e a+b+c=pi. Poiché la funzione seno è concava tra 0 e pi il max si ha per a=b=c=pi/3 (non molto elementare, ma veloce). Lo stesso metodo funziona per dimostrare che l\'n-gono di area max inscritto in una crf è quello regolare.
<BR>Metodo elementare (per dimostrare entrambe le cose): supponiamo che esistano due lati diversi AB e BC. Prendiamo il punto medio M dell\'arco ABC e consideriamo la differenza di aree (AOB+AOC)-(AOM+OMC)=ACB-ACM, ma l\'altezza relativa alla base AC del triangolo ABC è minore di quella del triangolo AMC perciò quella differenza è negativa e il poligono non può avere area massima. L\'unico poligono che non incorre in questo inconveniente è quello regolare.

[DD]

A=1/2*r^2(sin a+sin b+sin c)