SNS 1994-1995 (2)

[Fedecart]

Vi sono 4 città collegate a due a due da 6 strade che non si intersecano (cioè ogni coppia di città è collegata da una sola strada). Tutte le strade sono aperte al traffico con la stessa probabilità $ p=\frac{1}{2} $. Determinare la probabilità che in un determinato istante partendo da una qualsiasi città si possa arrivare ad ogni altra città

[FeddyStra]

Se è chiusa una sola strada, si può viaggiare liberamente. Idem se ne sono chiuse due. È altrettanto vero che affinché si possa raggiungere ogni città, devono essere aperte almeno tre strade (un albero ha etc...), ergo se le strade chiuse sono quattro, cinque o addirittura sei si è bloccati. Il caso critico è dunque quello in cui ci sono esattammente tre strade chiuse e tre aperte. Anche in questa situazione, però, non si fatica a vedere che affinchè si possa raggiungere ogni città, è necessario e sufficiente che le tre strade chiuse non portino tutte a una medesima città (4 modi distinti perché accada).
Riassumendo, la probabilità è
$ \displaystyle\frac1{2^8}\left[\binom61+\binom62+\binom63-4\right]=\frac{37}{256} $. EDIT:

[Maioc92]

alla luce del giusto ragionamento che hai fatto non dovrebbe essere $ \displaystyle\frac 1 {2^6}\left[\binom 6 0+\binom 6 1+\binom 6 2+\binom 6 3-4\right]=\frac {19}{32} $?

[Alex90]

alla luce del giusto ragionamento che hai fatto non dovrebbe essere $ \displaystyle\frac 1 {2^6}\left[\binom 6 0+\binom 6 1+\binom 6 2+\binom 6 3-4\right]=\frac {19}{32} $?

Direi proprio di sì

[FeddyStra]

Ehm... mi devo ancora spiegare da dove ho tirato fuori l'8 ad esponente e perchè ho chiuso per forza delle strade...
Ma mia discolpa ho da dire che stavo per andare a mangiare!

[Alex90]

Il caldo è un'ottima scusa in questo periodo ...magari anche lo stress e un po' di stanchezza