sns 1981-1982 quesito 2

[didudo]

determinare gli interi positivi p,q,N per cui:
$ (p+q)^N=2(p^N+q^N) $

[Maioc92]

ma p e q sono primi?

[francescodd]

ma p e q sono primi?

non necessariamente. io ho risolto fino ad un certo punto

$ p,q $ o entrambi pari o entrambi dispari. se$ p,q $ pari non esistono soluzioni per la discesa infinita. ma per i dispari non so come muovermi...

[Maioc92]

mi sono accorto ora che possiamo supporli primi tra loro

[Maioc92]

allora dovrebbero essere tutte le terne $ N=2,p=q $
Se p e q non sono primi tra loro raccogliamo il MCD,semplifichiamo e troviamo un'equazione analoga. Quindi supponiamo che p e q siano primi tra loro. Sviluppando $ (p+q)^N $ col binomio di newton troviamo che deve essere $ p^N=kq $ e $ q^N=hp $. Poichè sono primi tra loro l'unica possibilità è $ p=q=1 $. Sostituendo troviamo $ 2^N=4 $, da cui la tesi

[francescodd]

Sviluppando $ (p+q)^N $ col binomio di newton troviamo che deve essere $ p^N=kq $ e $ q^N=hp $.

mi potresti spiegare questo passaggio? grazie

[Maioc92]

il binomio di newton dice che $ \displaystyle (a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom n i a^ib^{n-i} $. In pratica ci assicura che tutti i termini della sommatoria sono divisibili per p tranne $ q^N $ e viceversa per q. Portando q^n (o p^n rispettivamente) al RHS trovi il passaggio

[Fedecart]

allora dovrebbero essere tutte le terne $ N=2,p=q $
Se p e q non sono primi tra loro raccogliamo il MCD,semplifichiamo e troviamo un'equazione analoga. Quindi supponiamo che p e q siano primi tra loro. Sviluppando $ (p+q)^N $ col binomio di newton troviamo che deve essere $ p^N=kq $ e $ q^N=hp $. Poichè sono primi tra loro l'unica possibilità è $ p=q=1 $. Sostituendo troviamo $ 2^N=4 $, da cui la tesi

Credo che esca anche per Cauchy-Schwrtz questo, poi però bisogna provare che non ce ne sono altre, mentre come fai tu è completo! (credo) =)