Circonferenze di circonferenze

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Pigkappa
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Circonferenze di circonferenze

Messaggio da Pigkappa » 04 dic 2007, 00:02

Siano $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ due circonferenze. Sia $ \displaystyle A $ un punto di $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle B $ un punto di $ \displaystyle \beta $. $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ sono l'una esterna all'altra.
Descrivere il luogo dei punti medi dei segmenti $ \displaystyle AB $ al variare di $ \displaystyle A $ e $ \displaystyle B $.


È facile, astenersi esperti (soprattutto Gabriel, che posterebbe la soluzione prima di domattina :? ).

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jordan
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Messaggio da jordan » 04 dic 2007, 00:24

viva le omotetie ihiihihih

wlog $ a \le b $, corona circolare (o cerchio pieno sse a=b) con $ r= \frac {b-a}{2} $ e $ R =\frac {a+b}{2} $ e centro nel punto medio dei due centri

nn vorrei sbagliare ma c'era un problema quasi identico su uno deitest di ammissione a sant'anna o sns di molto molto tempo fa :lol:
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 04 dic 2007, 14:23

Sì, è così. Non so se era stato dato a qualche test di ammissione, spero di no perchè vorrebbe dire che quelli del Kangourou riciclano problemi facilmente reperibili :(

(L'ho preso dal Kangourou)

hoja nasredin
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Re: Circonferenze di circonferenze

Messaggio da hoja nasredin » 21 lug 2020, 17:56

Un modo per vedere e arrivare alla soluzione.

I problemi complicati si affrontano risolvendo un problema piu semplice. Fissiamo [math] e guardiamo il luogo dei punti medi al variare di [math].

Un modo per vedere il punto medio di [math] e di pensarlo come il punto dove va [math] se riscali tutto di un fattore [math] con centro in [math]. Il punto [math] si muove lungo una circonferenza, quindi una volta riscalato si muovera lungo una circonferenza. Quindi il punto medio di [math] con [math] fissato e [math] variabile si muove lungo una circonferenza. E questa circonferenza ha raggio meta di [math] (tutto e' riscalato di [math]). Notiamo che il raggio di questa circonferenza (chiamiamola [math]) non dipende da dov'e' posizionato il punto [math].
A questo punto vediamo cosa fanno le circofnerenze [math] al variare di [math]. La circonferenza e' determinata dal suo centro e dal suo raggio. Il raggio abbiamo detto e' sempre costante, mentre il centro varia. Lavorando sempre con l'idea di aver riscalato tutto notiamo che [math] e' [math] riscalata, quindi il centro di [math] sara nel punto medio tra [math] e il centro di [math]. Il centro di [math] e' fisso mentre [math] si muove sulla circofnerenza [math]. Abbiamo visto sopra che il luogo dei punti in tal caso e' una circonferenza con il centro il punto medio tra il centro di [math] e il centro di [math].

Quindi il uogo dei punti del centro di [math] e' dato da una circonfereza il cui centro si muove lungo un altra circonferenza, fromando quindi una corona. Per i dettagli i conti li ha fatti Jordan qui sopra oramai 13 anni or sono.
"Ph'nglui mglw'nafh Cthulhu R'lyeh wgah'nagl fhtagn"

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