I due falegnami e le botti del vino

[SiRiLi0N]

In Scozia vivevano due falegnami di nome McIntosh e McGilliicuddy. Ciascuno di loro era un vecchio amico del vino vecchio ed entrambi lo acquistavano da un contadino della zona. Per risparmiare nessuno di loro aveva acquistato una botte ma se le era fabbricate da solo, e per semplicità ogni botte aveva una forma perfettamente cubica. McIntosh aveva due botti grandi mentre McGillicuddy ne aveva sessantadue piccole. Le due botti di McIntosh avevano dimensioni diverse mentre sessantadue botti di McGillicuddy erano perfettamente uguali tra loro nonchè diverse da entrambe le botti di McIntosh. Essi acquistavano il vino insieme ogni primo gennaio, in uguale quantità, ed ognuno di loro faceva le sue bevute da solo e non tutte le sere. Il lato di ogni botte misurava un numero intero di braccia e, ad ogni bevuta, il livello della botte prescelta per la serata calava esattamente di un braccio.
Quante serate di bevute si concedeva, nell'arco dell'anno, ciascuno dei due falegnami?
Nota: Il problema, così com'è, è alla portata di uno studente di prima superiore ed è la versione modificata di un problema classico, il quale era parimenti risolubile sebbene il grande Legendre lo abbia considerato irrisolvibile per errore (succede anche ai migliori). Se si diminuiscono ad otto le botti di McGillicuddy il problema è veramente irrisolvibile mentre se si suppone che siano nove, eliminando il vincolo dell'anno e supponendo che i due falegnami siano immortali, si ottiene un problema da far crepare le pietre. Nonostante ciò ci fu chi lo risolse prima dell'avvento dei moderni calcolatori elettronici.

Chi di voi riesce a farlo con carta e penna è un grande, ed è anche in grado di spiegarlo è davvero un genio.
Io ho provato a farlo in Turbo Pascal ma non so se il risultato è giusto

[mod_2]

Essi acquistavano il vino insieme ogni primo gennaio, in uguale quantità, ed ognuno di loro faceva le sue bevute da solo e non tutte le sere.

ma dopo ogni acquisto le botti sono tutte piene o possono acquistare una quantità desiderata purché siano uguali,

[SiRiLi0N]

penso che basti che la quantità sia uguale.
come ho detto, non sono stato in grado di risolvere il problema

[SiRiLi0N]

correggo, ad ogni acquisto le botti si riempiono, e veiente comprato vino in misura eguale

[moebius]

Ma a fine anno entrambi hanno finito il vino?

[SiRiLi0N]

sì, ma non necessariamente il 31 dicembre, comunque entro il primo di gennaio.
il volume delle 2 botti grandi è uguale al volume delle 62 botti piccole, essendo la quantità di vino acquistata uguale, e le botti piene.

[mod_2]

il problema può essere tradotto in:
$ $a^3+c^3=62d^3 $
con $ $a>c>d $
e quindi
$ $a^3=xd^3 $
$ $c^3=yd^3 $
dove $ $x+y=62 $
ma allora x e y devono essere a loro volta dei cubi e quindi 62 deve essere scritto come la somma di 2 cubi che è possibile

[SiRiLi0N]

non lo so' precisamente...
il fatto è che le due botti grandi sono diverse tra loro e quindi è difficile metterle in equivalenza...
io ho appena iniziato la matematica ma se nn riesco a capire questo problema smetto

[mod_2]

$ 1^3=1 $
$ 2^3=8 $
$ 3^3=27 $
$ 4^3=64 $ (troppo grande)
...
ma sei sicuro che questo problema ha soluzioni?

[SiRiLi0N]

quasi sicuro. al nostro prof di mate piace vedere gli studenti in difficoltà , ma non credo che ci darebbe un problema impossibile...però se non lo faccio sono fritto...e credo che si possa fare anche su turbo pascal, ma io non ci sono riuscito: dannate iterazioni

[SkZ]

$ $a^3=xd^3 $
$ $c^3=yd^3 $

sei sicuro che $ ~x,y\in\mathbb{N} $?

[mod_2]

$ $a^3=xd^3 $
$ $c^3=yd^3 $

sei sicuro che $ ~x,y\in\mathbb{N} $?

già, è vero non avevo tenuto conto di questo

secondo tentativo...
scomponendo mi viene
$ $(a+c)(a^2+c^2-ac)=2*31*d^3 $
$ $(a+c) $ deve essere un divisore di $ $2*31*d^3 $
adesso bisogna trovare le coppie di a c che verificano l'equazione, ma penso che ci sia un modo intelligente per farlo

[moebius]

Scusate ma...
$ ~a^3 + c^3 = 62 \cdot d^3 = 2 \cdot 31 \cdot d^3 $
Poichè il RHS è pari, allora $ ~a $ e $ ~c $ son entrambi pari o entrambi dispari.
Inoltre, da come interpreto il problema, $ ~a^3 + c^3 \leq 365 $. Poichè WLOG possiamo suppore $ ~a > c $, rimangono come coppie $ ~(a,c) $ possibili:
$ ~(1,3),(1,5),(1,7),(3,5) $ e $ ~(2,4),(2,6),(4,6) $
Ora il problema è che:
$ ~1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28 $
$ ~1^3 + 5^3 = 1 + 125 = 126 $
$ ~1^3 + 7^3 = 1 + 343 = 344 $
$ ~3^3 + 5^3 = 27 + 125 = 152 $
$ ~2^3 + 4^3 = 8 + 64 = 72 $
$ ~2^3 + 6^3 = 8 + 216 = 224 $
$ ~4^3 + 6^3 = 64 + 216 = 270 $
ma nessuno di questi è divisibile per $ ~62 $...
Quindi poichè non vorrei fare il Lagrange della situazione, mi sa che il testo va interpretato diversamente... Ad esempio in questa interpretazione l'informazione che ogni sera ne bevono "un braccio" è ridondante...

[flexwifi]

Penso che nel testo intenda dire diminuisca in altezza. Quindi per esempio supponendo che il proprietario delle 2 botti grandi beva tutte le sere alternativamente dalle 2 botti avremo che l'altezza di una botte sarà diminuita di 183 e l'altra di 182 e quindi $ \displaystyle a^3 + c^3 \leq 183^3 + 182^3 = 12157055 $ e quindi i casi possibili sono di più...

Bye

[flexwifi]

Ho trovato la soluzione:
a=7, c=11, d=3.
L'ho trovata scrivendo un programma in C, facendo tutti i casi possibili con le condizioni scritte sopra... Allego il programma per gli appassionati...

Codice: Seleziona tutto

#include <stdio>
#include <math>

int main(void)
{
int a=1, c=3, d3, d, temp;
	while(a != 183){
		while(c!= 183){
			temp = ((int)(pow((double)a, 3)) + (int)(pow((double)c, 3)));
			if((temp % 62) == 0){
				d3 = temp / 62;
				if((double)(pow(d3, (double)1/3) - floor(pow(d3, (double)1/3))) == 0.0){
					d = (int)(pow(d3, (double)1/3));
					printf("\na=%d, c=%d, d=%d", a, c, d);
				}
			}
			c += 2;
		}
		a += 2;
		c = a + 2;
	}
	a = 2;
	c = 4;
	while(a != 182){
		while(c!= 182){
			temp = ((int)(pow((double)a, 3)) + (int)(pow((double)c, 3)));
			if((temp % 62) == 0){
				d3 = temp / 62;
				if((double)(pow(d3, (double)1/3) - floor(pow(d3, (double)1/3))) == 0.0){
					d = (int)(pow(d3, (double)1/3));
					printf("\na=%d, c=%d, d=%d", a, c, d);
				}
			}
			c += 2;
		}
		a += 2;
		c = a + 2;
	}
printf("\n");
return 0;
}

Bye