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Dimostrare che ognuno degli $ n-1 $ numeri consecutivi

$ n! + 2, n! + 3, ...\,, n! + n $

ammette un divisore primo che non divide nessun altro elemento dell'insieme.

Spider

EDIT: Errore nel testo, scusate il disguido

Scusa ma non ho capito bene il testo, potresti spiegarlo meglio?

Provo a fare un esempio numerico. Per $ n = 5 $ si considera l'insieme $ \{122, 123, 124, 125\} $, e si ha:

$ 5! + 2 = 122 $, e 61 divide 122 ma non divide gli altri elementi dell'insieme;
$ 5! + 3 = 123 $, e 3 divide 123 ma non gli altri;
$ 5! + 4 = 124 $, e 31 divide 124 ma non gli altri;
$ 5! + 5 = 125 $, e 5 divide 125 ma non gli altri.

Possono esserci anche altre scelte di primi che soddisfano le richieste (si sarebbe potuto scegliere 41 invece di 3), ma ciò non ha importanza.

Spero sia chiaro

Spider

Ora è abbastanza chiaro ma nel primo post forse avresti dovuto dire

"esiste un primo q che divide uno e un solo elemento dell'insieme".

Avevo perso un pezzo, adesso ho corretto il testo. Grazie!

(n!+a,n!+b)=(a-b,n!+a)=(a-b,a)=(b,a)

Se a è un numero primo che è presente una sola volta nella fattorizzazione dei numeri 2,3,...,a,..,n allora c'è poco da dimostrare.

Suppongo che a non sia un tale numero primo.
Quindi ciascun suo fattore sarà presente almeno un'altra volta nei numeri 2,3,..,n.
In particolare posto n!+a=a(1+c) allora 1+c sarà coprimo con a.
Quindi 1=(1+c,(b,a))=(1+c,(n!+a,n!+b))=(1+c,n!+b)=1 qualsiasi b scelto..da cui è facile concludere..

Ok enomis.