Salve a tutti, ho un problema riguardo l'esecuzione di queste due tipologie di esercizio (premetto che studio Ingegneria e dovrò rifare l'esame di Analisi per la quinta volta settimana prossima )
Bene, sul libro del docente non riesco bene a trovare un pò di esercizi riguardo queste due tipologie, mi sapreste dare per piacere un link a qualche esercizio esaustivo qui su internet? se è possibile in modo da cercare di capire come si risolvono.. sono una frana in matematica
In particolare, per favore mi potreste dare una mano, svolgendomi qui questi tre esercizi passo per passo? in modo da cercare di capire come si sviluppano e si svolgono
Uno è questo
l'altro (scusate se l'ho scritto a mano ) è questo
e l'ultimo è questo
Grazie in anticipo, sono davvero in panico...
un saluto!
-Diego-
Integrali Impropri e limiti di integrali
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- Iscritto il: 20 mag 2007, 12:39
Il sito del mio prof. di analisi 2.
a fondo pagina trovi due pdf
http://www.math.unipd.it/~maraston/Mat3F/
# Integrali generalizzati (NOTE)
# Integrali generalizzati (TEST - testo e soluzioni)
a fondo pagina trovi due pdf
http://www.math.unipd.it/~maraston/Mat3F/
# Integrali generalizzati (NOTE)
# Integrali generalizzati (TEST - testo e soluzioni)
Li riscrivo.
1) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha} \tan x}{x^{2 \alpha} (1+x^2)}dx $
2) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha}}{x^{4 \alpha} (1+x^5 \sin \frac{1}{x^2}) \log (1+x)}dx $
3) $ \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{\int_0^{x^2} \frac{1-\cos \sqrt{t}}{2+\cos t}dt}{(\sinh x-x) \sin x} $
Secondo me per i primi due la tattica è passare ad una opportuna funzione asintotica vicino agli estremi di integrazione "dubbi", e vedere per quali alpha questa funzione asintotica ammette integrale improprio finito in un intorno di quell'estremo.
Per esempio per il primo, dovendo discutere la convergenza vicino a zero, puoi accorgerti che (per $ \sim_0 $ intendo "asintotico in zero a"):
$ (x-\sin x)/x \sim_0 x^2/6, \hspace{1cm} \tan x/x^{\alpha} \sim_0 (\sin x)^{1-\alpha} \sim_0 x^{1-\alpha} $
riducendoti a valutare l'integrabilità vicino a 0 di
$ x \mapsto \frac{1}{6^{\alpha}}x^{2\alpha+1-\alpha}=\frac{1}{6^{\alpha}}x^{1+\alpha} $
e ottenendo quindi $ 1+\alpha+1>0 $, ovvero $ \alpha>-2 $.
Per quanto riguarda il terzo, se non sbaglio basta usare Hopital (dopo aver dimostrato che si può...) seguito dal teorema fondamentale del calcolo per calcolare la derivata dell'integrale (nella fattispecie, se $ F(x)=\int_0^xf(t)dt $ allora $ \frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) $).
A me il limite viene 3/4.
Spero di ricordare bene e di non aver scritto cose scorrette
Ciao ciao.
1) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha} \tan x}{x^{2 \alpha} (1+x^2)}dx $
2) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha}}{x^{4 \alpha} (1+x^5 \sin \frac{1}{x^2}) \log (1+x)}dx $
3) $ \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{\int_0^{x^2} \frac{1-\cos \sqrt{t}}{2+\cos t}dt}{(\sinh x-x) \sin x} $
Secondo me per i primi due la tattica è passare ad una opportuna funzione asintotica vicino agli estremi di integrazione "dubbi", e vedere per quali alpha questa funzione asintotica ammette integrale improprio finito in un intorno di quell'estremo.
Per esempio per il primo, dovendo discutere la convergenza vicino a zero, puoi accorgerti che (per $ \sim_0 $ intendo "asintotico in zero a"):
$ (x-\sin x)/x \sim_0 x^2/6, \hspace{1cm} \tan x/x^{\alpha} \sim_0 (\sin x)^{1-\alpha} \sim_0 x^{1-\alpha} $
riducendoti a valutare l'integrabilità vicino a 0 di
$ x \mapsto \frac{1}{6^{\alpha}}x^{2\alpha+1-\alpha}=\frac{1}{6^{\alpha}}x^{1+\alpha} $
e ottenendo quindi $ 1+\alpha+1>0 $, ovvero $ \alpha>-2 $.
Per quanto riguarda il terzo, se non sbaglio basta usare Hopital (dopo aver dimostrato che si può...) seguito dal teorema fondamentale del calcolo per calcolare la derivata dell'integrale (nella fattispecie, se $ F(x)=\int_0^xf(t)dt $ allora $ \frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) $).
A me il limite viene 3/4.
Spero di ricordare bene e di non aver scritto cose scorrette
Ciao ciao.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
Una domanda riguardo il terzoMartino ha scritto:
Per quanto riguarda il terzo, se non sbaglio basta usare Hopital (dopo aver dimostrato che si può...) seguito dal teorema fondamentale del calcolo per calcolare la derivata dell'integrale (nella fattispecie, se $ F(x)=\int_0^xf(t)dt $ allora $ \frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) $).
A me il limite viene 3/4.
Ciao ciao.
Credo di aver capito il procedimento, ma sia a me che a mia sorella viene come risultato 1/2 ... vabbè....molto probabilmente sbagliamo noi qualcosa...nel caso (sempre se vuoi, sennò non fa niente ) potresti ricontrollare anche tu?
grazie mille in anticipo
No no hai perfettamente ragione: viene 1/2. Nella fretta, nel valutare $ 2+\cos x^2 $ in zero ho ottenuto 2 (misteri della fede...), che ho semplificato con il 2 a numeratore ottenendo un fattore 1 anziché 2/3 (e ciò è sintomatico essendo 3/4 * 2/3 = 1/2 ).Diè ha scritto:sia a me che a mia sorella viene come risultato 1/2 ...... vabbè....molto probabilmente sbagliamo noi qualcosa...
Ciao ciao!
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"