Un noto Marxista è ossessionato sia dalla matematica che dall'uguaglianza sociale. Cosi', per ogni rappresentazione decimale di un intero positivo $ n $, lui cerca di dividere le sue cifre in 2 gruppi, in modo che la differenza tra le somme delle cifre in ciascun gruppo sia piu' piccola possibile (in modulo ovviamente). Egli chiama questa differenza il 'difetto' $ \delta(n) $ di n. Determinare il valore medio dei difetti (tra i naturali), cioe' determinare:
$ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k = 1}^{n}\delta(k)}{n} $.
Dedicato a tutti i matematici socialisti
Sembra che qua nessuno voglia esporsi politicamente 
In realtà volevo invitare tutti i partecipanti alle IMO di quest'anno a mostrarsi un po' più socialisti, perchè in fondo si va nella Repubblica Socialista del Vietnam, e non sarebbe gentile fare altrimenti.
Ora, calcolare la disuguaglianza sociale di un numero senza nessuna cifra 1 può essere abbastanza complicato. Il calcolo diventa più semplice se il numero ha almeno 10 cifre 1. Però, fortunatamente, quasi tutti i numeri hanno almeno 10 cifre 1!
Infatti, la probabilità che un numero con al più n cifre abbia meno di 10 cifre 1 è:
$ \displaystyle \frac 1 {10^9} \left({n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose 9}\right) \frac{9}{10}^{n-9} $
e questo va chiaramente a 0 con $ ~ n = \infty $ perchè è una polinomiale vs esponenziale.
Quindi, basta considerare i numeri con almeno 10 cifre 1, perchè essendo quasi tutti i numeri, sono dei buoni rappresentanti per misurare la disuguaglianza sociale.
Partiamo con 2 gruppi qualsiasi. Poi spostiamo le cifre dal gruppo più grande al più piccolo finchè la differenza è minore di 18, poi spostiamo le cifre 1 dal gruppo più grande al più piccolo finchè la differenza è 1 o 0. Se è 1 o 0 dipende solo dalla parità della somma delle cifre (che non centra con la parità del numero).
Se n è un numero la cui ultima cifra è a, e n' è il numero ottenuto da n sostituendo a con 9-a, allora la somma delle cifre di n è pari se e soltanto se la somma delle cifre di n' è dispari.
Quindi in conclusione il difetto medio dei naturali è 1/2, che secondo me non è male.
(scusate per la forse eccessiva informalità...)
In realtà volevo invitare tutti i partecipanti alle IMO di quest'anno a mostrarsi un po' più socialisti, perchè in fondo si va nella Repubblica Socialista del Vietnam, e non sarebbe gentile fare altrimenti.
Ora, calcolare la disuguaglianza sociale di un numero senza nessuna cifra 1 può essere abbastanza complicato. Il calcolo diventa più semplice se il numero ha almeno 10 cifre 1. Però, fortunatamente, quasi tutti i numeri hanno almeno 10 cifre 1!
Infatti, la probabilità che un numero con al più n cifre abbia meno di 10 cifre 1 è:
$ \displaystyle \frac 1 {10^9} \left({n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose 9}\right) \frac{9}{10}^{n-9} $
e questo va chiaramente a 0 con $ ~ n = \infty $ perchè è una polinomiale vs esponenziale.
Quindi, basta considerare i numeri con almeno 10 cifre 1, perchè essendo quasi tutti i numeri, sono dei buoni rappresentanti per misurare la disuguaglianza sociale.
Partiamo con 2 gruppi qualsiasi. Poi spostiamo le cifre dal gruppo più grande al più piccolo finchè la differenza è minore di 18, poi spostiamo le cifre 1 dal gruppo più grande al più piccolo finchè la differenza è 1 o 0. Se è 1 o 0 dipende solo dalla parità della somma delle cifre (che non centra con la parità del numero).
Se n è un numero la cui ultima cifra è a, e n' è il numero ottenuto da n sostituendo a con 9-a, allora la somma delle cifre di n è pari se e soltanto se la somma delle cifre di n' è dispari.
Quindi in conclusione il difetto medio dei naturali è 1/2, che secondo me non è male.
(scusate per la forse eccessiva informalità...)