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Esattamente due danno lo stesso residuo
Inviato: 14 giu 2007, 11:15
da Sepp
Trovare tutti gli interi nonnegativi $ a < 2007 $ tali che $ x^2 + a \equiv 0 \pmod {2007} $ ha esattamente due soluzioni intere nonnegative $ x < 2007 $.
EDIT: Austria 2007
Inviato: 14 giu 2007, 12:54
da Zoidberg
Dovrei studiare per la maturità, invece ho perso un sacco di tempo a pensarci senza cavare un ragno dal buco!!
Inviato: 14 giu 2007, 13:30
da pic88
Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.
Attenzione!
Inviato: 14 giu 2007, 13:41
da FeddyStra
pic88 ha scritto:Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.
Attento: 2007 NON è primo.
Per esempio:
$ 0^2\equiv(3 \cdot 223)^2 \equiv (2 \cdot 3\cdot 223)^2 $ mod 2007.
{223, 892, 1561}
Inviato: 18 giu 2007, 13:49
da Zoidberg
Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi vedere come si dimostra?
Inviato: 19 giu 2007, 08:40
da Marco
@FeddySta: credo che hai commesso un errore di segno...
@Zoidberg:
Conosci il Teorema Cinese? Smonti il problema modulo 2007 come un problema equivalente modulo ... e modulo ...; conti il numero di soluzioni al variare di a nei moduli piccoli; ogni coppia di soluzioni modulo ... e modulo ... si rimonta ad una unica soluzione modulo 2007; imponi che ci siano esattamente due soluzioni; questo ti dà le informazioni su a modulo ... e modulo ... e ti permette di risolvere.