Il gioco delle monete

[julio14]

Supponiamo che la strategia di A sia di giocare una moneta n volte su m round. Quindi ad ogni round la probabilità che A giochi una moneta è p=n/m, e la probabilità che giochi due monete è 1-p.
Supponiamo lo stesso per B, cioè che giochi una moneta n' volte su m' round, e chiamiamo q=n'/m' la probabilità che B giochi una moneta.
Si tratta a questo punto di calcolare la vincita media (probabilità di vincita per vincita) di A e B e vedere se uno dei due ha la possibilità di rendere la sua vincita media maggiore di quella dell'avversario indipendentemente dalla tattica scelta da quest'ultimo...

Esattamente l'idea del dado con m facce. Il problema rimane trovare m; n e chi dei due lo usa.

[Cammy87]

Esattamente l'idea del dado con m facce. Il problema rimane trovare m; n e chi dei due lo usa.

Infatti sei sulla buona strada! Devi solo provare ad esplicitare la vincita in funzione della probabilità di uscita di una combinazione e del guadagno corrispondente a quella combinazione...

[julio14]

Finalmente mi sono deciso a impostare qualche disequazione anzichè andare per tentativi, e sono così giunto a dimostrare che il metodo del dado non funziona. Facendo un sistema di due disequazioni per ognuno dei due giocatori, si trova che il giocatore pari può al massimo pareggiare con n=2 e m=3, mentre il giocatore dispari può anch'egli al massimo pareggiare con n=1 e m=2. Guarda Cammy che se la soluzione era confutare la tesi, giuro che ti strozzo!!!!

[Cammy87]

Uhm... Missà che devi avere fatto qualche errore, perchè la soluzione non era confutare la tesi!!

[claudiothe2nd]

posti p e q numeri reali tale che 0 <p>= 1

Gp (ovvero il giocatore "del p") gioca 2 monete con probabilità p e 1 moneta con probabilità 1-p;
Gq gioca anche lui razionalmente, e decide che la sua giocata di 1 moneta abbia una probabilità di q e quella da 2 monete q-1.

Gp quindi vincerà in media 4(p(1-q))+2((1-p)q) monete
Gq invece ne vicerà 3(pq+(1-q)(1-p))

quindi Gp vincerà se e solo se 4p+2q-6pq > 6pq-3p-3q+3
ovvero se p(7-12q) > 3-5q
ma se 7-12q <3> 0, dovrebbe essere maggiore di 1, il che è un assurdo. quindi se Gq rende 3/5 > q > 4/7, sarà il vincitore (rimanendo in ambiente probabilistico!!).

[3C273]

Ciao a tutti!
E' da un po' che "gioco" con questo problema, e a questo punto intervengo anch'io.
Il punto è che io (come julio del resto, visto che giungiamo alle stesse conclusioni) avevo ottenuto che entrambi i giocatori hanno la possibilità di forzare la patta - sempre in senso probabilistico, ovviamente (il primo giocando 1 moneta con probabilità 2/3 e il secondo con probabilità 1/2), e quindi nessuno poteva avere una strategia vincente.
Adesso, vedendo il risultato di claudio, ho capito dove sta la differenza: calcolando il valore atteso per il primo giocatore, nel caso entrambi giochino per esempio 2 monete, claudio ha considerato che A ne vince 4, mentre io e julio abbiamo considerato che ne vince 2 (vince le 2 di B, le due che aveva messo lui non le vince, le aveva già); allo stesso modo, quando per esempio A gioca 1 moneta e B 2, claudio ha considerato che A vince 0, mentre io e julio abbiamo considerato che A perde la moneta che aveva giocato, cioè vince -1.
(@julio: spero di aver interpretato correttamente, altrimenti mi sa che ti ho messo in bocca parole che non hai detto... in tal caso scusami! )
In conclusione: a me continua a sembrare che il modo corretto di affrontare il problema sia quello mio e di julio, e quindi nessuno ha una strategia vincente. Ma se non è così, mi aiutate a capire perchè il mio ragionamento è sbagliato e l'altro è giusto?
Grazie!

[moebius]

Concordo con 3C273...
Non ho controllato i calcoli di claudiothe2nd, ma la sua assunzione è che i due si giochino le monete di qualcun'altro
E' così?

[claudiothe2nd]

Cammy ha scritto:
"se il numero delle monete sul tavolo è pari le prende Alex, altrimenti le prende Bobo. Dopodichè prendono altre monete e ripetono la stessa operazione più volte."

non viene specificato di chi siano le monete,potrebbero prenderle anche da un secchio comune, no?

alla vostra versione non ci avevo pensato, ci conviene aspettare una risposta da Cammy.. perchè probabilmente l'altra versione sarà un gioco equo come risulta dai vostri calcoli.

[3C273]

E' vero, non avevo pensato alla possibilità che entrambi prendessero le monete da un sacco comune! E dire che è da giorni che rileggo il testo cercando disperatamente un'interpretazione del gioco che lo rendesse non equo! Cammy mi hai letteralmente fatto impazzire ...

[dalferro11]

Ti piacciono i Quasar 3C273?

[3C273]

[OT]

Ti piacciono i Quasar 3C273?

Ci lavoro... tra un problemino e l'altro!
Tu invece preferisci il decadimento beta del neutrone?
[\OT]

[moebius]

@claudiothe2nd: io sinceramente spero che il gioco vada inteso come lo intendi tu, perchè altrimenti sono giorni che cerco di convincermi che il gioco come lo vedo io non sia equo senza risultati... Almeno vuol dire che non riesco a convincermi delle cose sbagliate! Altrimenti, semplicemente, non ci arrivo!
Insomma anche io ci sono impazzito un po' dietro

[Cammy87]

Scusate non pensavo di creare così tanto casino.
Quello che intendevo è ciò che ha fatto claudio, cioè che i due hanno a disposizione molte monete e continuano a giocare ripetutamente investendo ogni volta nuove monete, e mettono da parte la loro vincita. Pensavo si capisse dal testo, ma forse non è così.

claudio ha considerato che A ne vince 4, mentre io e julio abbiamo considerato che ne vince 2 (vince le 2 di B, le due che aveva messo lui non le vince, le aveva già); allo stesso modo, quando per esempio A gioca 1 moneta e B 2, claudio ha considerato che A vince 0, mentre io e julio abbiamo considerato che A perde la moneta che aveva giocato, cioè vince -1.

Soltanto leggendo questo post mi sono reso conto della differente interpretazione che si poteva dare dell'esercizio, non mi ero accorto fin'ora che stavamo affrontando un problema sostanzialmente diverso!
E' stato un problema di interpretazione, ma ora è tutto chiaro!

Tornando al problema, per come l'avevo capito io:

quindi Gp vincerà se e solo se 4p+2q-6pq > 6pq-3p-3q+3
ovvero se p(7-12q) > 3-5q

Arrivati a questo punto si poteva anche concludere nel modo seguente.
Si nota che se Pq decide di porre q=7/12 annulla la probabilità di p, che non influisce più nella differenza dei guadagni medi. Quindi sostiuendo nella disequazione si ha 0>1/12 che è falso, quindi è Pq ad essere in guadagno (sempre probabilisticamente parlando).
Il risultato mi è sembrato abbastanza sorprendente è per questo che avevo postato il problema. In realtà ciò dipende anche da come lo si interpreta. Nell'interpretazione di julio e 3C273 effettivamente il gioco è equo.

E' successo proprio quello di cui parlava Mind un po' di tempo fa riguardo al fatto che quando uno ha in mente una soluzione, spesso si aspetta di vedere quella e non si accorge di quello che sta facendo l'altro!
Sorry!

[moebius]

E' successo proprio quello di cui parlava Mind un po' di tempo fa riguardo al fatto che quando uno ha in mente una soluzione, spesso si aspetta di vedere quella e non si accorge di quello che sta facendo l'altro!

Tu non hai idea di quello che è uscito fuori cercando la non equità del gioco descritto da julio e 3C273... Potremmo aprire un topic in birreria

[Cammy87]

Sì sì, è una buona idea!
Ora che ho capito bene cosa intendevano, devo dire che dimostrare la non equità potrebbe stare tranquillamente in birreria o nel topic 2=1!!! Devono essere uscite cose davvero molto interessanti!!!