OliForum Matematico

Un bel problemino pre-cesenatico:
Una classica scacchiera 8x8 viene attaccata da 7 microbi, ognuno dei quali si posiziona dentro un quadratino.
Se un quadratino è attaccato dai microbi da almeno due lati, allora dopo un secondo scatta la riproduzione e si trova un antipatico microbo anche in questa casella!

Riusciranno i microbi ad occupare tutta la scacchiera?

Dopo 2 minuti di riflessione...
Affinchè una casella possa essere infettata è necessario che sia presente un microbo nella sua colonna e un altro nella sua riga. Oppure bastano (in casi particolari) anche 2 microbi sulla sua riga o sulla sua colonna. Visto però che quest'ultima configurazione è chiaramente svantaggiosa (penso), non rimane che disporre i microbi su righe e colonne differenti...
La migliore configurazione con 7 microbi copre 7 righe e 7 colonne, per cui in ogni caso rimangono delle caselle non infette (che direi sono 15)...

Non mi meraviglierebbero clamorose smentite

MateCa ha scritto:Visto però che quest'ultima configurazione è chiaramente svantaggiosa

Belli questi discorsi.
Occhio, perché un'argomentazione così a Cesenatico vale 0 punti.

Credo non ce la facciano i tuoi microbi (perchè ti stanno così antipatici?)

Per occupare tutta la scacchiera è necessario che ci sia almeno un microbo in ogni riga e un microbo in ogni colonna. Quindi ne servirebbero almeno 8 (disposti per esempio sulla diagonale della scacchiera)

Tentiamo ora di spiegare perchè ne serve almeno uno per riga e almeno uno per colonna.

Supponendo che un microbo voglia riprodursi nella riga superiore, la casella figlia dev'essere contagiata da un altro microbo non della stessa riga (che non avrebbe nessun lato in comune con la casella figlia) e quindi o della riga superiore o della riga ancora superiore (a patto che che sia allineato con l'altro microbo "genitore").

Nel primo caso si vede appunto come sia necessario un microbo per riga ed equivalentemente per colonna.

Nel secondo caso dimostriamo che per i 7 microbi è impossibile occupare l'intera scacchiera.
Infatti perché i microbi possano conquistare una riga n in partenza vuota devono possedere un microbo nella riga n+1 e l'intera riga sottostante n-1.
Ma se possedessero l'intera riga n-1 allora sarebbero riusciti ad impossessarsi anche di una casella della colonna che era vuota in partenza (visto che i 7 microbi lasciano una riga ma anche una colonna sane, almeno all'inizio). Ma questo è impossibile, perché per conquistarla avrebbero avuto bisogno almeno di due microbi sulla stessa riga, e quindi avrebbero dovuto essere almeno in 8.

Spero di essere stato chiaro...

Per me vale di sicuro 0 punti, visto che a Cesenatico al massimo ci vado in vacanza
Cmq non ho il tempo di fare un'argomentazione rigorosa...Lascio agli olimpici l'onere

MateCa ha scritto:Per me vale di sicuro 0 punti, visto che a Cesenatico al massimo ci vado in vacanza
Cmq non ho il tempo di fare un'argomentazione rigorosa...Lascio agli olimpici l'onere

Lol, scusa. Siccome il problema è stato dichiarato pre-Cesenatico, davo per scontato che fossi un partecipante. Altrimenti sarei stato meno "duro".

Zok ha scritto:Per occupare tutta la scacchiera è necessario che ci sia almeno un microbo in ogni riga e un microbo in ogni colonna.

Infetta tutta la scacchiera, tranne una riga di quelle centrali.
La scacchiera si infetta interamente in 1 secondo, ma inizialmente non tutte le righe avevano un microbo.

MindFlyer ha scritto:

MateCa ha scritto:Visto però che quest'ultima configurazione è chiaramente svantaggiosa

Belli questi discorsi.
Occhio, perché un'argomentazione così a Cesenatico vale 0 punti.

[OT]
Mind, vieni anche tu a correggere, vero?
[/OT]

Abbastanza noto... c'è una dimostrazione molto elegante

hint: considerare il perimetro della zona infetta

[/size]

OT: che sofferenza non avere internet a casa...

Ciao a tutti!

edriv ha scritto:[OT]
Mind, vieni anche tu a correggere, vero?
[/OT]

Sìsì.

...ed anche gente peggiore...

2p

Una mente malata potrebbe chiedersi: che succede al gioco se si fa diventare la scacchiera cilindrica? Vorrebbe dire far diventare adiacenti le caselle che stanno su due bordi opposti.

Così su due piedi... e considera che sono seduto... direi niente.