Tensori?

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Iron_Man
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Tensori?

Messaggio da Iron_Man » 01 mar 2007, 15:24

Cos'è un tensore?

Ho provato a guardare su wikipedia ma non ho capito un granchè :cry: anzi non ho capito quasi nulla :shock:
Così ho pensato di chiedere a qualche sapiente, molto gentile, che magari mi avrebbe dato qualche delucidazione :roll: :roll:

Nota:ho fatto un doppio di questo messaggio nel Glossario...nel caso qualche admin volesse toglierlo...
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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 01 mar 2007, 18:28

Conosci un po' di algebra lineare (spazi vettoriali, applicazioni lineari, basi, dimensione)? Senza questa non è possibile spiegare matematicamente cos'è un tensore. Purtroppo i fisici spesso danno delle definizioni assurde che non vogliono dire niente e confondono solo idee. Anche il trattamento di Wikipedia mi sembra confuso. Se hai qualche base, ti spiego volentieri cos'è un tensore, ma aspetto che tu mi risponda così mi risparmio la fatica se non ti serve.
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Messaggio da Iron_Man » 01 mar 2007, 21:24

Innanzi tutto Grazie :D :D
Nonno Bassotto ha scritto:Conosci un po' di algebra lineare (spazi vettoriali, applicazioni lineari, basi, dimensione)?
Io faccio 5 liceo scientifico sezione PNI e so qualcosina (ma poco) di più rispetto a quanto mi sono insegnato. Di algebla lineare conosco le matrici (se so anche qualcos'altro non so che è algebra lineare). So cos'è un vettore e cosa sono i versori e come si fa il prodotto vettore.
Però non so cosa intendi per spazi vetteriali, applicazioni lineari, basi, dimensione...

Ti sarei comunque grato se provassi anche solo a spiegarmi qualcosina così vediamo se il problema è solo terminologico oppure non so proprio di cosa che parli
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Messaggio da Nonno Bassotto » 01 mar 2007, 23:42

Uhm, temo che sia un problema raccontarti qualcosa dei tensori. Inoltre ti assicuro che appena li vedi sembrano la cosa più formale e inutile del mondo; cioè non hanno niente di divertente.

La cosa inizia a farsi interessante quando studi geometria differenziale, e scopri che sulle varietà possono essere messi dei fibrati tensoriali. Fra parentesi sono questi i tensori che usano i fisici, non quelli che ti avrei definito io.

Boh... non riesco a immaginare come si possano presentare i vettori in maniera non formale. :( Forse qualcun altro saprà darti un'idea intuitiva. Il problema dell'idea intuitiva, che è quella che talvolta cercano di dare i fisici, è che è sbagliata e confonde solo le idee.
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Messaggio da fph » 02 mar 2007, 10:11

WIkipedia italiana ha parecchie lacune sulla matematica, non consiglio di usarla davvero. Ho provato un tempo a editare cose base come "matrice", poi ho deciso che non valeva la pena di sprecarci tempo ed è meglio dedicarlo a far sì che quella in inglese sia più completa. Spiace contraddire così gli ideali degli wiki ma è la cruda verità. :(
La pagina inglese sui tensori è fatta un pochino meglio, c'è un tentativo di introduzione un po' sbrodolato e un link alla definizione "formale" matematica.

(comunque confermo, anch'io non vedo un modo semplice di introdurli a un profano senza dover spiegare prima parecchia algebra lineare).
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Messaggio da Aleph_0 » 02 mar 2007, 10:24

immagina di avere una varieta', cioe' una specie di superficie n dimensionale che localmente si comporta come $ \mathbb{R}^n $ e abbastanza liscia (non intendo piatta).
esempio:
una sfera in $ \mathbb{R}^3 $ e' una varieta' 2 dimensionale

In ogni punto $ P $ della tua varieta' puoi definire lo spazio tangente $ T_pM $. La costruzione di tale spazio tangente puo' essere fatta senza ricorrere al concetto di immersione della varieta' in uno spazio piu' grosso.
La cosa che interessa e' che lo spazio tangente in ogni punto puo' essere visto proprio come $ \mathbb{R}^n $ pensato come l'insieme di tanti vettori uscenti dall'origine (il punto P).
se la varieta' e' una sfera lo spazio tangente ad un punto e' dato da tutti i vettori contenuti nel piano tangente.(questo esempio fa rizzare i capelli..)

Concentriamoci adesso sullo spazio tangente ovvero su $ T_PM $, insieme di tanti vettori uscenti da P. Tali vettori vengono detti controvarianti. in questo spazio abbiamo due operazioni: la somma di vettori e la moltiplicazione tra vettori e scalari.

Definiamo un vettore covariante come un funzionale da $ T_PM $ a $ \mathbb{R} $ cioe' una funzione $ \omega:T_PM\rightarrow \mathbb{R} $ tale che per ogni $ \alpha,\beta \in \T_PM $ e $ \lambda,\mu\in \mathbb{R} $ si ha:

$ \omega(\lambda\alpha+\mu\beta)=\lambda\omega(\alpha)+\mu\omega(\beta) $.

L'insieme di tutte queste applicazioni forma uno spazio che ha la stessa struttura di $ T_PM $ in quanto puoi definire la somma tra vettori covarianti e la moltiplicazione per uno scalare. Tale spazio e' detto spazio cotangente e viene indicato con $ T_PM^* $.

Passiamo a definire i tensori.
un tensore p-volte covariante e q-volte controvariante e' un'applicazione

$ T:T_PM\times\cdots\times T_PM\times T_PM^*\times \cdots \times T_PM^*\rightarrow \mathbb{R} $ dove $ T_PM $ compare p volte e $ T_PM^* $ q volte.

Ti sembrera' una roba tanto formale ma ha tantissime applicazioni.
Ovviamente detto cosi' non si capisce niente e sembra una cosa inutile come aveva detto nonno bassotto.
Per approfondire ti consiglio il libro "La strada che porta alla realta'" di Penrose.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 mar 2007, 11:13

Aleph, tu avresti capito sta cosa in V liceo ?? Che liceo hai fatto?

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Messaggio da EvaristeG » 02 mar 2007, 15:51

Polemica a parte, provo anch'io a dir la mia ...
Allora ... partiamo dalle cose facili: cerchiamo tutte le funzioni
$ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ lineari; ovvero tutte le funzioni che ad un vettore associano un numero reale di modo che se le calcolo sulla somma di due vettori ottengo la somma dei due numeri reali a loro associati e se la calcolo su un multiplo k di un vettore ottengo lo stesso multiplo k del numero reale associato a quel vettore. Chiamiamo $ e_i $ il vettore (0,...,1,...,0) dove l'unico 1 sta nel posto i-esimo. Chiaramente ogni vettore di R^n potrà essere scritto in modo unico come $ a_1e_1+\ldots+a_ne_n $ per degli opportuni numeri reali a_i, che sono niente altro che le coordinate di v: $ v=(a_1,\ldots,a_n) $.
Ora, se noi sappiamo che
$ f(e_i)=c_i $
allora per ogni vettore $ v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n $ avremo
$ f(v)=f(a_1e_1+\ldots+a_ne_n)= $$ f(a_1e_1)+\ldots+f(a_ne_n)=a_1f(e_1)+\ldots+a_nf(e_n) $$ =a_1c_1+\ldots+a_nc_n $
Ma allora (spero tu sappia cos'è il prodotto scalare) $ f(v)= v \cdot c $ con $ c=(c_1,\ldots,c_n) $ per ogni vettore v, o equivalentemente $ f(a_1,\ldots,a_n)=a_1c_1+\ldots+a_nc_n $.
Quindi, ad ogni funzione lineare da R^n a R possiamo associare un UNICO vettore c di modo che f(v)=v*c; del resto, per ogni vettore c di R^n, la funzione f(v)=v*c è lineare e a valori reali, quindi è una di quelle che stiamo cercando.
Questo ci dice che anche l'insieme
$ L(\mathbb{R}^n)=\{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\textrm{ lineari}\} $
"è" $ \mathbb{R}^n $ perchè abbiamo trovato una funzione che ad ogni elemento del primo fa corrispondere un vettore del secondo e viceversa, la funzione che ad una f associa il suo c. Questa funzione è anche molto carina:
se ho due funzioni $ f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ la loro somma è ancora una funzione $ (f+g):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ definita ovviamente da $ (f+g)(v)=f(v)+g(v) $; se k è un numero reale, $ (kf):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ sarà definita da $ (kf)(v)=k\cdot f(v) $. E se a f,g associamo i vettori c,d, a (f+g) sarà associato (c+d) (provare per credere); allor stesso modo a (kf) sarà associato (kc). Questa funzione è quindi anche lei lineare e bigettiva (l'unica funzione che può essere associata al vettore (0,...,0) è la funzione nulla). Si chiama isomorfismo lineare, ma non ci interessa molto. Fatto sta, che R^n e le funzioni lineari da R^n a R sono, tramite lei, la stessa cosa.

Ecco, ora arrivano i tensori, che sono, da questo punto di vista, una generalizzazione dei vettori. Consideriamo un insieme di funzioni come prima, solo che invece di fare funzioni di una variabile, ce ne mettiamo due:
$ B(\mathbb{R}^n)=\{f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\textrm{ bilineare}\} $
ovvero, ho una funzione f che ad ogni coppia di vettori (v,w) associa un numero reale. Attenzione, alla coppia ordinata (v,w)!! Ciò vuol dire che vi saranno un numero per (v,w) e un numero per (w,v), non necessariamente uguali. Quando dico bilineare, intendo che essa è lineare in ogni componente, ovvero che
$ f(v_1+v_2,w)=f(v_1,w)+f(v_2,w) $
$ f(kv,w)=kf(v,w) $
e
$ f(v,w_1+w_2)=f(v,w_1)+f(v,w_2) $
$ f(v,kw)=kf(v,w) $
Vogliamo, come prima, capire come è fatto questo insieme di funzioni. Bene, come prima utilizziamo i vettori e_i, ma stavolta ci serviranno le n^2 coppie $ (e_i,e_j) $ al variare di i,j tra 1 e n (i,j possono anche essere uguali e, come ricordato, (e_i,e_j) non è uguale a (e_j,e_i), quindi sono n^2).
Supponiamo che $ f(e_i,e_j)=q_{ij} $; allora, se $ v=(a_1,\ldots,a_n)=a_1e_1+\ldots+a_ne_n $ e $ w=(b_1,\ldots,b_n)=b_1e_1+\ldots+b_ne_n $, avremo
$ f(v,w)=f(a_1e_1+\ldots+a_ne_n, w)= $$ f(a_1e_1,w)+f(a_2e_2,w)+\ldots+f(a_ne_n,w)= $(ho usato la linearità nella prima variabile)$ =f(a_1e_1,b_1e_1+\ldots+b_ne_n)+\ldots+f(a_ne_n,b_1e_1+\ldots+b_ne_n)= $
$ =f(a_1e_1,b_1e_1)+f(a_1e_1,b_2e_2)+\ldots+f(a_1e_1,b_ne_n) $
$ +f(a_2e_2,b_1e_1)+\ldots+f(a_2e_2,b_ne_n) $
$ +\ldots+ $
$ +f(a_ne_n,b_1e_1)+\ldots+f(a_ne_n,b_ne_n)= $
$ =a_1b_1f(e_1,e_1)+a_1b_2f(e_1,e_2)+\ldots+a_1b_nf(e_1,e_n) $
$ +a_2b_1f(e_2,e_1)+\ldots+a_2b_nf(e_2,e_n) $
$ +\ldots+ $
$ +a_nb_1f(e_n,e_1)+\ldots+a_nb_nf(e_n,e_n)= $
$ =(a_1b_1)q_{11}+\ldots+(a_1b_n)q_{1n}+\ldots+(a_nb_1)q_{n1}+\ldots+(a_nb_n)q_{nn}= $$ =\displaystyle{\sum_{i,j=1}^n(a_ib_j)q_{ij}} $
Bene (uff, che fatica); ma questo lo possiamo scrivere così:
$ f(v,w)=v^T\cdot Q\cdot w $ dove Q è la matrice che nella casella (i,j) (riga,colonna) ha il numero q_{ij}. Ho scritto $ v^T $ per mania di precisione e praticamente vuol dire questo: per poter applicare senza problemi la regola della moltiplicazione tra matrici anche con i vettori (considerandoli matrici nx1), ogni tanto serve "girare" un vettore, ovvero specificare che non lo si considera come una matrice nx1 ma come una 1xn; questo vuol dire la T in alto. Se ora provi a eseguire il prodotto
$ \begin{array}{ccc}(a_1&\ldots&a_n)\\ & &\\ & &\end{array}\cdot $$ \left(\begin{array}{ccc}q_{11} &\ldots& q_{1n}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\q_{n1}&\ldots&q_{nn}\end{array}\right)\cdot $$ \left(\begin{array}{c}b_1\\ldots&b_n\end{array}\right) $
vedrai che fa proprio quella somma di cui sopra.
Quindi ogni funzione bilineare (di solito si chiamano forme bilineari) da R^n a R viene associata in modo unico a una matrice nxn. Del resto, è facile verificare che per una qualsiasi matrice nxn Q la funzione f(v,w)=v^T * Q * w è una forma bilineare.
Tale corrispondenza che ad ogni f associa Q ha sempre le belle proprietà di cui godeva quella che ad una f lineare associava una c, in quanto la somma di funzioni bilineari è una funzione bilineare e pure un multiplo di funzione bilineare è ancora bilineare e tale corrispondenza rispetta queste operazioni (a f+g assoceremo Q+R e a kf assoceremo kQ). Quindi è anch'essa un isomorfismo lineare e ci dice che l'insieme $ B(\mathbb{R}^n) $ è in realtà l'insieme delle matrici nxn (ovvero, se lo sai, è $ R^{n^2} $, ma non è importante).

Ora dovrebbe essere facile generalizzare: considera l'insieme
$ M^k(\mathbb{R}^n)=\{f:\mathbb{R}^n\times\ldots\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\textrm{ k-multilineari}\} $
dove nel prodotto compaiono k copie di R^n. Cosa vuol dire? Beh, sono le funzioni che ad ogni k-upla di vettori $ (v^{(1)},\ldots,v^{(k)}) $ (attenzione, ognuno di loro è un vettore, per questo ho messo i numeri in alto e tra parentesi, per non confondersi con le coordinate di un singolo vettore) associano un numero reale, in modo da essere lineare in ogni coordinata, cioè, ad esempio
$ f(v^{(1)}+w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $$ =f(v^{(1)},v^{(2)},\ldots,v^{(k)})+f(w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $
e allo stesso modo per la moltiplicazione per un numero reale, per ogni coordinata. Gli elementi di questo insieme si chiamano tensori di grado k su R^n.
Abbiamo visto prima che i tensori di grado 1 su R^n sono i vettori di R^n, i tensori di grado 2 sono le matrici nxn; vedremo ora che i tensori di grado k sono in un certo modo la generalizzazione di questi oggetti.
Quindi, per scrivere esplicitamente una simile applicazione tramite gli e_i, dovremo conoscerne il valore su tutte le k-uple $ (e_{i_1},\ldots,e_{i_k}) $ al variare di $ i_1,\ldots,i_k $ da 1 a n, ammettendo le ripetizioni e tenendo in considerazione l'ordine in cui sono presi.
Chiamando $ f(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})=m_{i_1,\ldots,i_k} $ e ponendo
$ v^{(j)}=a_1^{(j)}e_1+\ldots+a_n^{(j)}e_n $
avremo che (tranquilli, stavolta non faccio i conti componente per componente)
$ f(v^{(1)},\ldots,v^{(k)})= $$ \displaystyle{\sum_{i_1,\ldots,i_k=1}^n(a_{i_1}^{(1)}\cdot a_{i_2}^{(2)}\cdot\ldots\cdot a_{i_k}^{(k)})m_{i_1,\ldots,i_k}} $
Con un po' di fantasia, possiamo riconoscere che, ad esempio, se k=3, possiamo interpretare l'insieme dei coefficienti $ m_{i_1,i_2,i_3} $ come un "cubo di numeri" nel modo in cui una matrice era un quadrato di numeri; dunque, possiamo pensare di "moltiplicare" questo oggetto $ M=\{m_{i_1,i_2,i_3}\}_{1\leq i_1,i_2,i_3\leq n} $ per 3 vettori e ottenere un numero.
Ma possiamo anche fermarci prima : consideriamo il vettore $ v=(a_1,\ldots,a_n) $, allora possiamo prendere la funzione 3-multilineare associata a M e chiamarla f e fissare la sua prima componente sempre a v, ovvero considerare la funzione
$ f(v,\cdot,\cdot) $ che ad ogni COPPIA di vettori (w,u) associa il numero reale $ f(v,w,u) $; questa funzione "ridotta" in cui abbiamo fissato la prima componente, è dunque definita sulle coppie ed inoltre nella seconda e nella terza componente è ancora lineare (f lo era in tutte e 3), quindi è una applicazione bilineare, quindi è una matrice. Dunque c'è un modo di associare a M e v una matrice che in un certo modo possiamo intendere come il prodotto di M per v, poichè se poi moltiplicheremo questa matrice anche per w e u, otterremo proprio il valore di M in (v,w,u).
Queste però sono chiacchiere un po' più complicate ... il succo è che se hai un tensore di grado k e un vettore, puoi moltiplicarli per ottenere un tensore di grado k-1, scendendo sempre di più fino ad arrivare a un numero reale (che viene visto come un tensore di grado 0).

Ci sarebbe molto altro da dire già solo a questo livello, ma la differenza tra tensori covarianti e controvarianti richiede alcune conoscenze teoriche di algebra lineare che non mi sembra il caso di introdurre .. questo post è già lungo abbastanza.

So che così ti sembrerà che i tensori siano una pippa mentale (e in parte lo sono), ma si usano in tantissimi campi della fisica e della geometria; la descrizione che te ne ho data qui è la più elementare (come generalizzazione di vettori e matrici) e dunque non mette in luce le proprietà utili di questi oggetti, ma quanto meno dovrebbe darti l'idea di cosa sono.
Ultima modifica di EvaristeG il 05 mar 2007, 01:23, modificato 3 volte in totale.

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Messaggio da Neo85 » 03 mar 2007, 10:42

Nonno Bassotto ha scritto:Conosci un po' di algebra lineare (spazi vettoriali, applicazioni lineari, basi, dimensione)? Senza questa non è possibile spiegare matematicamente cos'è un tensore. Purtroppo i fisici spesso danno delle definizioni assurde che non vogliono dire niente e confondono solo idee. Anche il trattamento di Wikipedia mi sembra confuso. Se hai qualche base, ti spiego volentieri cos'è un tensore, ma aspetto che tu mi risponda così mi risparmio la fatica se non ti serve.
Forse non ho compreso... Ma i tensori in fisica escono naturali.

Prendi il tensore metrico $ g^{ik} $ e vedrai che esce in modo semplice. Penso che la pretesa in quinta di capire i tensori sia un pochino azzardata. Su wiki ho avuto la stessa impressione...

Ciao Neo
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Messaggio da Nonno Bassotto » 03 mar 2007, 16:57

Non volevo dire che tutti i fisici non sappiano cos'è un tensore. Quello che intendevo è che spesso nei corsi di fisica all'università capita di avere bisogno dei tensori prima che i corrispondenti corsi di matematica all'università abbiano sviluppato la matematica necessaria per dare una definizione rigorosa, e allora capita che si diano definizioni "intuitive" e non molto sensate. Del tipo "un tensore è una quantità fisica che letta in un altro sistema di riferimento cambia secondo questa formula..."
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Messaggio da Iron_Man » 04 mar 2007, 23:04

Aleph_0 ha scritto: Ovviamente detto cosi' non si capisce niente e sembra una cosa inutile come aveva detto nonno bassotto.
Grazie comunque :D :D
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Messaggio da Iron_Man » 04 mar 2007, 23:08

EvaristeG ha scritto:Se ora provi a eseguire il prodotto
$ \begin{array}{ccc}(a_1&\ldots&a_n)\\ & &\\ & &\end{array}\cdot $$ \left(\begin{array}{ccc}q_{11} &\ldots& q_{1n}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\q_{n1}&\ldots&q_{nn}\end{array}\right)\cdot $$ \left(\begin{array}{c}b_1\\ldots&b_n\end{array}\right) $
vedrai che fa proprio quella somma di cui sopra.
Ho provato... viene ... wow!!
EvaristeG ha scritto:associano un numero reale, in modo da essere lineare in ogni coordinata, cioè, ad esempio
$ f(v^{(1)}+w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $$ =f(v^{(1)},v^{(2)},\ldots,v^{(k)})+f(w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $
e allo stesso modo per la moltiplicazione per un numero reale, per ogni coordinata.Gli elementi di questo insieme si chiamano tensori di grado k su R^n.
Ecco...qua mi sono perso :cry: :cry: non è potresti spiegarmi meglio perchè non ho ancora ben afferrato cos'è un tensore (lo so: sono una testa quadra)

In più vista la tua infinita pazienza (un po' di captatio benevolentiae ci vuole visto tutta la fatica che hai fatto) mi chiariresti un’ attimo la simbologia:
La x cosa indica? il prodotto vettore (utilizzando la notazione non italiana)? Se sì come?
La B dovrebbe stare per bilineare; per verificare se ho capito: in questo caso B è l’insieme dei vettori del piano? Ma è definito semplicemente con le proprietà che hai enunciato o è un ipotesi o tutte e due le cose? R bilineare starebbe per R^2?
Ultima modifica di Iron_Man il 05 mar 2007, 11:42, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da Iron_Man » 04 mar 2007, 23:14

Neo85 ha scritto:Ma i tensori in fisica escono naturali.
Prendi il tensore metrico $ g^{ik} $ e vedrai che esce in modo semplice.
Tensore metrico? :shock:
Sono curioso di sapere qual’è questa fisica definizione intuitiva dei tensori
Neo85 ha scritto:Penso che la pretesa in quinta di capire i tensori sia un pochino azzardata.
Probabilmente hai ragione però senza avere una minima idea di cosa sono non potevo sapere quanto fosse azzardato.
Comunque la curiosità è tanta quindi difficile o no io ci provo... :wink:
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Messaggio da EvaristeG » 05 mar 2007, 01:31

La x indica il prodotto cartesiano di insiemi (il prodotto vettore, per quel che ne puoi sapere tu, si fa solo in R^3).
Ovvero, se hai due insiemi A,B, allora $ A\times B $ è l'insieme delle coppie in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B.
Ad esempio
$ \{1,2,3\}\times\{h,j,k\} $ è l'insieme che ha per elementi (1,h), (1,j),(1,k), (2,h),(2,j), (2,k), (3,h), (3,j), (3,k).

Quindi $ \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n $ è l'insieme di tutte le coppie di vettori con n componenti. Ad esempio, gli elementi di $ \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3 $ saranno cose del tipo (v,w) con v=(a,b,c) e w=(c,d,e) (non necessariamente diversi).

I tensori di grado k su R^n sono le applicazioni che ad ogni k-upla di vettori associano un numero reale. Ad esempio, un tensore di grado 3 su R^2 sarà una cosa che prende tre vettori del piano (u,v,w) e restituisce un numero reale, di modo che, se f(u,v,w)=a e f(z,v,w)=b (con z un altro vettore del piano), allora
f(u+z,v,w)=a+b.
Allo stesso modo nelle altre componenti e allo stesso modo per il prodotto per un numero reale: se k è un numero reale, f(ku,v,w)=kf(u,v,w).

B sono le applicazioni bilineari ... purtroppo devo dirti che non centrano nulla con i vettori del piano... anzi, in quel che ho scritto ti faccio vedere come le applicazioni bilineari su R^n siano proprio le matrici nxn.

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Messaggio da Neo85 » 05 mar 2007, 22:34

Nonno Bassotto ha scritto:Non volevo dire che tutti i fisici non sappiano cos'è un tensore. Quello che intendevo è che spesso nei corsi di fisica all'università capita di avere bisogno dei tensori prima che i corrispondenti corsi di matematica all'università abbiano sviluppato la matematica necessaria per dare una definizione rigorosa, e allora capita che si diano definizioni "intuitive" e non molto sensate. Del tipo "un tensore è una quantità fisica che letta in un altro sistema di riferimento cambia secondo questa formula..."
Altro nodo al pettine: a fisica se non fai un percorso teorico non incontrerai nessun corso di matematica dove vengono spiegati i tensori in senso matematico. I corsi dove li incontri sono Meccanica analitica, relatività (non tutti fanno la generale) e meccanica quantistica anche se in modo secondario. Invece per i teorici c'è un corso di algebra lineare 2 dove si fanno tensori anelli gruppi e ste cose qui. Per i gruppi di Lie c'è un corso nella magistrale. Quindi quello che dici è in parte vero. Dipende dal corso di studi fatto :)
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