Carrellata sui quadrilateri armonici
Carrellata sui quadrilateri armonici
Sia ABCD un quadrilatero ciclico tale che:
$ \displaystyle AB \cdot CD = BC \cdot DA $
Un quadrilatero così lo chiameremo armonico.
Dimostrare che:
1) La bisettrice di ABC, la bisettrice di ADC, la retta AC concorrono.
2) S è l'intersezione tra le diagonali. E è il punto d'incontro delle tangenti alla circonferenza in A e C. Dimostrare che B,D,S,E sono allineati.
3) Dimostrare che BS è simmediana del triangolo ABC.
4) Dimostrare che BDSE fanno una quaterna armonica
5) Se trovate altro, dimostrate anche quello!!
$ \displaystyle AB \cdot CD = BC \cdot DA $
Un quadrilatero così lo chiameremo armonico.
Dimostrare che:
1) La bisettrice di ABC, la bisettrice di ADC, la retta AC concorrono.
2) S è l'intersezione tra le diagonali. E è il punto d'incontro delle tangenti alla circonferenza in A e C. Dimostrare che B,D,S,E sono allineati.
3) Dimostrare che BS è simmediana del triangolo ABC.
4) Dimostrare che BDSE fanno una quaterna armonica
5) Se trovate altro, dimostrate anche quello!!
Ultima modifica di edriv il 26 feb 2007, 20:00, modificato 2 volte in totale.
2-4) fatti insieme con la geometria proiettiva
Sia $ G, G' $ le intersezioni di $ BD $ rispettivamente con le tangenti in $ A $ e $ C $. Allora
$ \displaystyle (DSBG)=\frac{\sin{DAS}}{\sin{SAB}} \frac{\sin{GAB}}{\sin{DAG}} $
Ma per il teorema dei seni
$ =\frac{DC}{BC} \frac{AB}{DA}=-1 $
(occhio ai segni)
Ma ragionando analogamente otteniamo che
$ \displaystyle (DSBG')=-1 $
Quindi $ G \equiv G' \equiv E $
e $ (DSBE)=-1 $
Sia $ G, G' $ le intersezioni di $ BD $ rispettivamente con le tangenti in $ A $ e $ C $. Allora
$ \displaystyle (DSBG)=\frac{\sin{DAS}}{\sin{SAB}} \frac{\sin{GAB}}{\sin{DAG}} $
Ma per il teorema dei seni
$ =\frac{DC}{BC} \frac{AB}{DA}=-1 $
(occhio ai segni)
Ma ragionando analogamente otteniamo che
$ \displaystyle (DSBG')=-1 $
Quindi $ G \equiv G' \equiv E $
e $ (DSBE)=-1 $
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
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E allora facciamo anche la 1 e la 3:
1)Per il trorema della bisettrice sul triangolo ABC la bisettrice in B divide AC in AP e CP tali che $ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{AP}{PC} $
Mentre nel triangolo ACD la bisettrice in D divide AC in AQ e CQ tali che $ \displaystyle \frac{AD}{DC} = \frac{AQ}{QC} $
inoltre per ipotesi si ha
$ \displaystyle AB \cdot CD = BD \cdot DA $
$ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC} $
quindi
$ \displaystyle \frac{AP}{PC}= \frac{AQ}{QC} $
quindi
$ \displaystyle P \equiv Q $, quindi le bisettrici si incontrano su AC in un unico punto e quindi concorrono con AC
3)Essendo la simmediana la retta che unisce il punto di incontro delle tangenti al cerchio circoscritto di un triangolo in due dei suoi vertici col terzo vertice la tesi è derivata direttamente dalla 2)
Aggiungerei anche questi due punti:
Dimostrare che i due punti di incontro dei prolungamenti dei lati opposti del quadrilatero ABCD stanno su EF
E dimostrare che le diagonali di ABCD concorrono con le diagonali del quadrilatero formato dalle tangenti in A,B,C e D
1)Per il trorema della bisettrice sul triangolo ABC la bisettrice in B divide AC in AP e CP tali che $ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{AP}{PC} $
Mentre nel triangolo ACD la bisettrice in D divide AC in AQ e CQ tali che $ \displaystyle \frac{AD}{DC} = \frac{AQ}{QC} $
inoltre per ipotesi si ha
$ \displaystyle AB \cdot CD = BD \cdot DA $
$ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC} $
quindi
$ \displaystyle \frac{AP}{PC}= \frac{AQ}{QC} $
quindi
$ \displaystyle P \equiv Q $, quindi le bisettrici si incontrano su AC in un unico punto e quindi concorrono con AC
3)Essendo la simmediana la retta che unisce il punto di incontro delle tangenti al cerchio circoscritto di un triangolo in due dei suoi vertici col terzo vertice la tesi è derivata direttamente dalla 2)
Aggiungerei anche questi due punti:
Dimostrare che i due punti di incontro dei prolungamenti dei lati opposti del quadrilatero ABCD stanno su EF
E dimostrare che le diagonali di ABCD concorrono con le diagonali del quadrilatero formato dalle tangenti in A,B,C e D
Re:
Su internet non si trova praticamente nulla sui quadrilateri armonici... quindi ho cercato qui e ho beccato questo
Che ovviamente rispolvero
Prima di tutto piazzo un facile rilancio:
7) Siano $a,b,c,d$ le tangenti da $A,B,C,D$ allora $(a\cap c, A, a\cap b, a\cap d)$ è una quaterna armonica
ANOCX è ciclico... dato che $OAX=OCX=ONX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
AHMX è ciclico... dato che $AMX=AHX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
Sfruttando la prima ciclicità ottengo $CNX=CAX$, mentre sfruttando la seconda $MHX=MAX$ (angoli alla circonferenza). Ma $MAX=CAX$ per costruzione -> $CNX=MHX$ e perciò $NC\parallel HM$ che è la tesi.
Ecco un bel disegnino allegato...
Che ovviamente rispolvero
Prima di tutto piazzo un facile rilancio:
7) Siano $a,b,c,d$ le tangenti da $A,B,C,D$ allora $(a\cap c, A, a\cap b, a\cap d)$ è una quaterna armonica
Bon allora... chiamo O il centro della circonferenza per ABCD e X l'intersezione delle tangenti da A e C.edriv ha scritto:Massì, aggiungiamo un altro punto:
Sia H la proiezione di A su BD.
Siano M,N rispettivamente i punti medi di AC,BD.
Dimostrare che HM è parallela a NC.
ANOCX è ciclico... dato che $OAX=OCX=ONX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
AHMX è ciclico... dato che $AMX=AHX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
Sfruttando la prima ciclicità ottengo $CNX=CAX$, mentre sfruttando la seconda $MHX=MAX$ (angoli alla circonferenza). Ma $MAX=CAX$ per costruzione -> $CNX=MHX$ e perciò $NC\parallel HM$ che è la tesi.
Sfrutto la ciclicità di ANOCX (angoli alla circonferenza): $ANB=ANX=AOX=XOC=CNX=CNB$ che è la tesi (equivalentemente si fa prendendo M al posto di N).edriv ha scritto:Altra proprietà importante che caratterizza i quadrilateri armonici:
Detti M,N i punti medi di AC, BD, dimostrare che $ ~ \angle BMC = \angle DMC $, $ ~ \angle ANB = \angle CNB $.
Ecco un bel disegnino allegato...
- Allegati
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- quadrilatero armonico.png (39.77 KiB) Visto 2786 volte
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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