punti allineati
Moderatore: tutor
N3o in parte hai ragione! Avevo dimenticato di considerare alcune triplette, quali ad esempio quelle che tenevano conto dei punti allineati paralleli agli assi. Per n = 4, però, le terne non sono soltanto 44. Una soluzione esatta, ma parziale, dovrebbe essere questa:
<BR>
<BR>Il numero di triplette di punti allineati in un piano cartesiano, aventi coordinate intere non negative, minori o uguali ad un numero n prefissato intero positivo e la cui distanza tra punti consecutivi è <= 2^(1/2) è 4n(n-1)!!
<BR>
<BR>
<BR>Dimostrazione:
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<BR>In un quadrato avente lato 1 non esistono terne suddette!!
<BR>
<BR>In uno da 2 ne esistono solo 8, 2 poste sulle diagonali ed aventi come distanza tra due punti consecutivi 2^(1/2) ed altre 6 poste su lati e sulle “intersezioni” paralleli agli assi, metà delle quali parallele all’asse delle ascisse, ed aventi come distanza 1!
<BR>
<BR>Un quadrato da 3 è formato da 4 quadrati da 2 semisovrapposti, quindi avrà 2*4 diagonali ricercate. In generale, uno di lato n sarà formato da (n-1)^2 quadrati semisovrapposti da 2 e quindi avrà 2(n-1)^2 diagonali.
<BR>
<BR>Rimangono ora da considerare il numero di terne parallele agli assi.
<BR>Prendiamo in considerazione quelle parallele all’asse delle x. Sul lato del quadrato da 3 avente ordinata 0, possono essere prese due terne formate dai seguenti punti:{A(0,0) B(1,0) C(2,0)} e {B(1,0) C(2,0) D(3,0)}. E’ facile convincersi che per un quadrato di lato n esistono (n-1) possibili terne. Rimane da moltiplicare questo valore per i “lati” paralleli all’asse che in numero sono (n+1). Le terne quindi parallele all’asse delle x saranno (n+1)(n-1) = (n^2-1). Poiché lo stesso ragionamento si deve fare anche per l’asse delle y il numero totale di terne non trasversali è 2(n^2-1).
<BR>
<BR>Ricapitolando, il numero di terzine è 2(n-1)^2+2(n^2-1) = 4n(n-1). C.v.d.
<BR>
<BR>E’ dà tener conto che son stati presi in considerazione solo terne che avevano distanza tra punti consecutivi <= 2^(1/2). Esistono però delle terzine ricercate, come {A(0,0) H(1,2) Q(3, 4)} che hanno distanza maggiore di 2^(1/2), già nel quadrato di lato 4. La soluzione proposta può essere quindi generalizzata solo per n < 4!!
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<BR>Il numero di triplette di punti allineati in un piano cartesiano, aventi coordinate intere non negative, minori o uguali ad un numero n prefissato intero positivo e la cui distanza tra punti consecutivi è <= 2^(1/2) è 4n(n-1)!!
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<BR>Dimostrazione:
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<BR>In un quadrato avente lato 1 non esistono terne suddette!!
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<BR>In uno da 2 ne esistono solo 8, 2 poste sulle diagonali ed aventi come distanza tra due punti consecutivi 2^(1/2) ed altre 6 poste su lati e sulle “intersezioni” paralleli agli assi, metà delle quali parallele all’asse delle ascisse, ed aventi come distanza 1!
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<BR>Un quadrato da 3 è formato da 4 quadrati da 2 semisovrapposti, quindi avrà 2*4 diagonali ricercate. In generale, uno di lato n sarà formato da (n-1)^2 quadrati semisovrapposti da 2 e quindi avrà 2(n-1)^2 diagonali.
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<BR>Rimangono ora da considerare il numero di terne parallele agli assi.
<BR>Prendiamo in considerazione quelle parallele all’asse delle x. Sul lato del quadrato da 3 avente ordinata 0, possono essere prese due terne formate dai seguenti punti:{A(0,0) B(1,0) C(2,0)} e {B(1,0) C(2,0) D(3,0)}. E’ facile convincersi che per un quadrato di lato n esistono (n-1) possibili terne. Rimane da moltiplicare questo valore per i “lati” paralleli all’asse che in numero sono (n+1). Le terne quindi parallele all’asse delle x saranno (n+1)(n-1) = (n^2-1). Poiché lo stesso ragionamento si deve fare anche per l’asse delle y il numero totale di terne non trasversali è 2(n^2-1).
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<BR>Ricapitolando, il numero di terzine è 2(n-1)^2+2(n^2-1) = 4n(n-1). C.v.d.
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<BR>E’ dà tener conto che son stati presi in considerazione solo terne che avevano distanza tra punti consecutivi <= 2^(1/2). Esistono però delle terzine ricercate, come {A(0,0) H(1,2) Q(3, 4)} che hanno distanza maggiore di 2^(1/2), già nel quadrato di lato 4. La soluzione proposta può essere quindi generalizzata solo per n < 4!!
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Fabio Mogavero