Scomponendo i razionali

[jim]

[Facile]
Sia $ x $ un numero razionale compreso tra $ 0 $ e $ 1 $.
Dimostrare che $ x $ si può sempre scrivere come somma di frazioni del tipo $ \frac{1}{n} $, con $ n $ naturale, dove i denominatori dei termini della somma sono tutti diversi. (Per esempio: $ \frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} $).

[SkZ]

se se ne possono usare anche infiniti, qualunque numero $ ~x\in [0;1) $ puo' essere rappresentato come $ \displaystyle \sum_1^\infty _k a_k2^{-k} $ con $ ~a_k\in\{0,1\} $. Il procedimento e' banale.

[jim]

Già non ho precisato, chiedo scusa... intendevo un numero finito di addendi.

[SkZ]

dicesi frazione egiziana
non hai motivo per scusarti.

[HiTLeuLeR]

[Facile]
Sia $ x $ un numero razionale compreso tra $ 0 $ e $ 1 $.
Dimostrare che $ x $ si può sempre scrivere come somma di frazioni del tipo $ \frac{1}{n} $, con $ n $ naturale, dove i denominatori dei termini della somma sono tutti diversi. (Per esempio: $ \frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} $).

Rilancio [poco meno facile]: determinare il più piccolo k intero > 0 tale che ogni numero razionale nell'intervallo aperto (0,1) si possa sempre esprimere come somma di al più k frazioni egiziane.

[SkZ]

solo per precisione: dicesi frazione egiziana la rappresentazione di un numero razionale positivo minore di 1 nella somma di frazioni unitarie tra loro differenti

quindi si cerca frazioni egiziane con k elementi.

Sicuramente k>3 (k=3 e' in pratica la Congettura di Erdős-Strauss)