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Si consideri un filo disposto lungo una spirale piana di equazione $ r =k\phi $, ove r è la distanza dall’origine e $ \phi $ è l’angolo azimutale del raggio vettore $ \vec{r} $ che descrive lo svolgersi della spirale a partire dall’origine fino ad un valore $ \phi_{max}\gg 2\pi $. La spirale è immersa in un campo magnetico uniforme ortogonale al suo piano e di modulo variabile nel tempo secondo la legge $ B(t) = B_0 sen(\omega t) $. Si determini la forza elettromotrice indotta tra le due estremità del filo.

A me non viene l'area concatenata alla spira. Ho provato a trovare la superficie con un integrale utilizzando le coordinate polari ma mi viene area negativa ...
Comunque avevo proceduto in questo modo:
$ \displaystyle \begin{array}{l} y = \rho \sin \phi = k\phi \sin \phi \\ x = \rho \cos \phi = k\phi \cos \phi \\ dx = k\left( {\cos \phi - \phi \sin \phi } \right)d\phi \\ \end{array} $
quindi
$ \displaystyle A = \int {ydx = k^2 \int {\left( {\phi \frac{{\sin 2\phi }}{2} - \phi ^2 \sin ^2 \phi } \right)} } d\phi $
Non è un integrale simpatico,comunque si può fare per parti. Tu ce l'hai la soluzione di questo problema?

__Cu_Jo__ ha scritto: ....
$ \displaystyle A = \int {ydx = k^2 \int {\left( {\phi \frac{{\sin 2\phi }}{2} - \phi ^2 \sin ^2 \phi } \right)} } d\phi $
Non è un integrale simpatico,comunque si può fare per parti. Tu ce l'hai la soluzione di questo problema?

L'area limitata dalla curva $ r=f(\phi) $ e dai raggi vettori $ \phi=\phi_1 $ e $ \phi=\phi_2 $ è data da:

$ \displaystyle A=\frac{1}{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2}r^2d \phi $

L'area "interna" alla spirale perciò diventa:

$ \displaystyle A= \frac{k^2 \phi_{max}^3}{6} $

Ma da dove ti viene quella formula?

Quella è l'area in coordinate polari spazzata dal raggio vettore che descrive la curva $ r(\phi) $; infatti, considera l'area spazzata al variare dell'angolo tra $ \phi $ e $ \phi+d\phi $. Essa, a meno di infinitesimi di ordine superiore è $ \frac12 r\cdot r\cdot \sin(d\phi)\equiv \frac12 r^2d\phi $ (mancano gli ordini maggiori o uguali a 3 nello sviluppo del seno e un termine che va come dr per compensare la variazione del raggio tra $ \phi $ e $ \phi+d\phi $ e in cui compare inevitabilmente anche un $ rd\phi $ e quindi va come $ drd\phi $, di ordine 2).
Quindi per sapere l'area spazzata dal raggio vettore che descrive la curva $ r(\phi) $ tra $ \phi_1 $ e $ \phi_2 $ è
$ \displaystyle{A(\phi_1,\phi_2)=\frac12 \int_{\phi_1}^{\phi_2}r^2d\phi} $

...

Comunque, anche approssimando la spirale con N circonferenze concentriche di raggi $ 2\pi k n $ con $ n=0,\ldots, N $, si arrivava al risultato
$ A=\dfrac{k^2(2\pi)^3N^3}{6}+\mathcal{O}(N^2) $
che coincide a meno di termini N^2 con quello esatto; penso che questa approssimazione fosse più che accettabile.

Grazie mille Simone!

simone a chi?? (mi chiamo samuele ... cmq ev, evg o sam bastano ampliamente)

hahahaha,sono sempre stato una frana con i nomi...

MaMo ha scritto:
L'area "interna" alla spirale perciò diventa:

$ \displaystyle A= \frac{k^2 \phi_{max}^3}{6} $

concordo...

uhm
io farei

$ A = \displaystyle\frac{k^2}{2}\displaystyle\int_{\phi_{max}-2\pi}^{\phi_{max}}\phi^2 \mbox{d}\phi $

solo per evitare di spazzare più volte la stessa area...