Calcolo volume tetraedro irregolare

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
dackm
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Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da dackm » 21 lug 2006, 21:26

come si calcola il volume di un tetraedro irregolare?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 21 lug 2006, 22:17

Sposto la domanda nel Glossario, in quanto non è un esercizio vero e proprio.

Inoltre, provo a risponderti :

Scelta una qualunque sua faccia, lo puoi vedere come piramide con base quella faccia, quindi usi la formula

Volume = Area_di_base*Altezza/3
Ultima modifica di EvaristeG il 21 lug 2006, 22:24, modificato 1 volta in totale.

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Bolzo88
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Messaggio da Bolzo88 » 21 lug 2006, 22:19

EvaristeG ha scritto:Sposto la domanda nel Glossario, in quanto non è un esercizio vero e proprio.

Inoltre, provo a risponderti :

Scelta una qualunque sua faccia, lo puoi vedere come piramide con base quella faccia, quindi usi la formula

Volume = Area_di_base*Altezza/6
6? Non è 3?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 21 lug 2006, 22:26

Uff, sì scusa .. stavo pensando alla formula con i vettori :
se a,b,c sono i vettori che individuano tre vertici di un tetraedro rispetto al quarto, il suo volume è
$ V=(a\times b)\cdot c/6 $

HellGauss
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Messaggio da HellGauss » 31 lug 2006, 21:59

E conoscendo i suoi spigoli?
Esiste una formula tipo quella di erone?

:D

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 31 lug 2006, 22:28

Sì, c'è : Cayley-Menger!

$ 288V^2=\left|\begin{array}{ccccc}0&1&1&1&1\\ 1&0&a^2&b^2&c^2\\1&a^2&0&d^2&e^2\\1&b^2&d^2&0&f^2\\ 1&c^2&e^2&f^2&0\end{array}\right| $

con a,b,c,d,e,f spigoli del tetraedro.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 31 lug 2006, 22:37

HellGauss ha scritto:E conoscendo i suoi spigoli?
Esiste una formula tipo quella di erone?
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-Men ... inant.html

Edit: anche qui mi hanno anticipato?? E che palle, divento vecchio! :cry:

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 ago 2006, 15:28

Eh eh ... sei lento...

Erasmus
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Re:

Messaggio da Erasmus » 29 lug 2018, 21:28

Sono nuovo (ma vecchio di età e di frequenza in forum di carattere matematico).
Mi sono inscritto perché, dopo aver trovato per conto mio una formula per il volume del tetraedro irregolare, ho cercato se c'era a proposito qualcosa in rete ed ho trovato questo "thread" ... che mi pare interessante ma anche di poca utilità pratica (se non si ha una applicazione che sappia fare sbrigativamente determinanti di matrici quadrate di formato 5 x 5 (che, se fatti secondo la definizione, conducono a ben 120 addendi).
EvaristeG ha scritto:
31 lug 2006, 22:28
Sì, c'è : Cayley-Menger!
$ 288V^2=\left|\begin{array}{ccccc}0&1&1&1&1\\
1&0&a^2&b^2&c^2\\1&a^2&0&d^2&e^2\\1&b^2&d^2&0&f^2\\
1&c^2&e^2&f^2&0\end{array}\right| $

con a, b, c, d, e, f spigoli del tetraedro.
Queste informazioni non bastano!
Questo determinante non è invariante ad ogni permutazione della sestupla [a, b, c, d, e, f].
Voglio dire: bisogna anche sapere come è messo uno spigolo rispetto agli altri!
Precisamente:
• dato uno spigolo qualunque, siccome ognuno dei 4 vertici è estremo di tre spigoli, ci sono altri 4 spigoli con un estremo comune al dato spigolo ed un solo spigolo senza estremo comune. Diciamo che il dato spigolo e quello senza estremo comune sono "opposti" (uno dsell'altro).
• Delle 15 coppie dei suoi 6 spigoli, 3 coppie sono di "spigoli opposti" , ossia non complanari" e 11 sono coppie di spigoli complanari.
Delle 20 terne di spigoli
• 4 terne sono di spigoli con un estremo comune [in uno dei 4 vertici]:
• 4 terne sono di spigoli complanari [lati di una delle 4 facce];
• le altre 12 terne sono ripartibili in 3 quaterne di terne comprendono una coppia di spigoli opposti ed uno spigolo con un vertice comune al primo ed un vertice comune al secondo dei due spigoli opposti. Quindi in ciascuna di queste quaterne di terne figurano tutti i 6 spigoli; ed in ciasscuna di queste terne ci sono tutti i 4 vertici (che a tre a tre individuano le 4 facce).

Un modo di evitare gli equivoci è quello di indicare con 1, 2, 3 e 4 i vertici e e con
d12, d13, d14, d23, d24, d34
le lunghezze dei 6 spigoli (di estremi due dei 4 vertici).
Il determinante di Cayley-Menger! per lospazio tridimensionale dà infatti:
Immagine
Ma anche questo non è di rapido impiego!
------------
Siano note le lunghezze dei singoli spigoli di un tetraedro.
Ho trovato che, in generale, il volume è un dodicesimo della radice quadrata di una somma di 22 monomi dei quali 12 sono positivi (a coefficiente 1) e 10 sono negativi (a coefficiente –1).
[Più sotto spiegherò come si arriva facilmente a questo risultato].

Adesso spiego, appoggiandomi ad un modello, come determinare ciascuno dei 22 addendi sella somma sotto radice quadrata
Pensiamo (per comodità) il tetraedro ABCD come una piramide triangolare di base ABC e vertice D.
Le lunghezze degli spigoli siano le seguenti:
BC = a; CA = b; AB = c;
AD = d; BD = e; CD = f.
Evidentemente le coppie di vertici opposti sono allora: [a, d]; [b, e]; [c, f].
Le terne di spigoli lati di una delle 4 facce sono [a, b, c]; [a, e, f]; [b, d, f]; [c, d, e].
Tenute presenti le posizioni degli spigoli, ecco l'algoritmo per scrivere i 22 addendi della somma sotto radice quadrata
a) Ogni volta che compare una delle 6 lettere [indeterminate] essa figura al quadrato.
b) Per ciascuna delle tre coppie di opposti scriviamo il prodotto dei dei quadrati dei due spigoli opposti e moltoplichiamo per la somma dei quadrati di tutti i 6 spigoli cambiando però poi il segno da "+" a "–" dei quadratri degli sterssi spigoli opposti.
Per esempio, per la coppia di spigoli opposti [a, d] abbiamo:
(a^2)·(d^2)·[–a^2 + b^2 + c^2 – d^2 + e^2 + f^2].
Per la coppia di spigoli opposti [b, e] abbiamo:
(b^2)·(e^2)·[a^2 – b^2 + c^2 + d^2 - e^2 + f^2].
E per la coppia di spigoli opposti [c, f] abbiamo:
(c^2)·(f^2)·[a^2 + b^2 - c^2 + d^2 + e^2 - f^2].
Naturalmente di queste tre espressioni facciamo la somma.
c)[/c] Alla somma di questi 18 termini sottraiamo i 4 prodotti dei quadrati dei 3 lati delle 4 facce; ossia aggiungiamo:
– [(abc)^2 + (aef)^2 +(bdf)^2 + (cde)^2]
c)[/c] Facciamo la radice quadrata dell'intera somma e dividiamo per 12.
Ho fatto un'immagine del detto modello di tetraedro ed un'altra dell'espressione del volume:
Immagine
Immagine
–––––––––––––
Spiego ora come si arriva a quella formula.
1) Si ricordi che in un triangolo di vertici A, B e C e lati rispettivamente opposti a, b e c, i coseni degli angoli x, y e z di vertici rispettivi A, B e C sono:
cos(x) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc); cos(y) = (c^2 + a^2 – b^2)/(2ca); cos(z) = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab).
[*][/b]
2) Un triedro abbia le facce di angoli φ, χ e ψ e gli angoli diedri rispettivamente oppoasti siano α, β e γ. Allora il "1° teorema del coseno" della "Trigonometria sferica" permette di calcolare un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce.In formule si ha:
cos(α) = [cos(φ) –cos(χ)·cos(ψ)]/[sin(χ)·sin(ψ)];
cos(β) = [cos(χ) –cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)]; [**]
cos(γ) = [os(ψ) - cos(φ·cos(χ))]/[sin(φ)·sin(χ)].

Nella figura del tetraedro di sopra siano:
φ l'amgolo in A di lati b e c;
χ l'aamgolo in A di lati b e d;
ψ langolo in Adi lati c e d:
β l'angolo diedro di spigolo AB = c.

Allora il coseno dell'angolo β vale (come dice la [**]): cos(β) = [cos(χ) –cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)]. E di conseguensa si ha:
sin(β) =√{1 – [cos(β)]^2} = √{1 – [cos(φ)]^2 – [cos(χ)]^2 – [cos(ψ)]^2 + 2cos(φ)·[cos(χ)·cos(ψ)}/[[sin(ψ)·sin(φ)]. [***]
Pertanto la distanza h di D dal piano della faccia ABC vale:
h = d·[sin(ψ)·sin(β)] = d·√{1 – [cos(φ)]^2 – [cos(χ)]^2 – [cos(ψ)]^2 + 2cos(φ)·cos(χ)·cos(ψ)}/[sin(φ)].
E siccome l'area della faccia ABC vale [b·c·sin(φ)]/2, il volume del tetraedro ABCD della figura di sopra vale:
V = <area di ABC>·h/3 = bcd·{1 – [cos(φ)]^2 – [cos(χ)]^2 – [cos(ψ)]^2 + 2cos(φ)·[cos(χ)·cos(ψ)}/6.

E' dunque facile (ancorché noioso!) sostituire in questa formula le funzioni circolari cos(φ), cos(χ) e cos(ψ) con le loro espressioni razionali nelle variabili "lunghezze degli spigoli" (secondo lo schema [**]) In tal modo si ottiene la formula mostrata nella seconda immagine (e precedentemente spiegata in riferimento alla mutua posizione dei singoli spigoli).
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EvaristeG
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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da EvaristeG » 29 lug 2018, 21:35

Erasmus, la tua formula è ESATTAMENTE lo sviluppo del determinante di Cayley-Menger, una volta che si raccolgono i termini.
Il determinante si usa perché, mediamente, è più facile da ricordare, rispetto ad un'espressione con una ventina di monomi a segni variabili...

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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da Erasmus » 30 lug 2018, 11:14

EvaristeG ha scritto:
29 lug 2018, 21:35
Erasmus, la tua formula è ESATTAMENTE lo sviluppo del determinante di Cayley-Menger, una volta che si raccolgono i termini.
Ma questo è ovvio!
Lo dico ... "a posteriori", [dato che la "mia" formula l'ho ricavato prima di sapere dell'esistenza del determinane di Cayley-Menger – che ho scoperto ieri quando cercando con Google "volume del tetraedro irregolare" – sono cascato qua)] non avendo dubbi sulla correttezza sia della mia formula sia del determinante di Cayley-Menger.
EvaristeG ha scritto:
29 lug 2018, 21:35
Il determinante si usa perché, mediamente, è più facile da ricordare, rispetto ad un'espressione con una ventina di monomi a segni variabili...
Qui non sono affatto d'accordo!
1) La "mia" formula è "facilissima" se si tiene conto (a) di quali sono le tre coppie di "spigoli" opposti" e (b) di quali sono le quattro terne di "lati delle facce".
Credevo che la "pedissequa" mia spiegazione di come costruire quel polinomio di 22 addenti fosse chiara!
Una volta che si sia capita –cosa che mi pare facilissima – il tenerne conto è addirittura banale.
Visto che hai dei dubbi ... te la ripeto (sperando di dissipare i dubbi! :D )
a) Ogni volta che usi una delle 6 lettere, questa va messa al quadrato.
b) I coefficienti sono di due soli tipi: 1 o –1
c) Occhio a quali sono le coppie di "spigoli opposti"! Ed occhio a quali sono le terne di "lati delle facce"!
d) Per ciascuna delle tre coppie di "spigoli opposti" fai come nell'esempo che segue.
Supponiamo che due spigoli opposti siano b ed e (e tutti gli spigoli siano [a, b, c, d, e, f].
Allora sei addendi della somma sono:
(b^2)·(e^2)·(a^2 – b^2 + c^2 + d^2 – e^2 + f^2)
Vedi che è facile ricordare quali due dei 6 addendi tra parentesi sono negativi: sono i quadrati dei due spigoli opposti.
e) Alla somma fatta fin qui si sottraggono i quattro termini dati dal prodotto dei quadrati dei lati di ciascuna delle quattro facce.
Queste 4 terne di lati delle facce siano per esempio – come nella prima figura che ho messo – [a, b, c]; [a, e, f], [b, d, f] e [c, d, e].
Allora aggiungi –[(abc)^2 + (aef)^2+ (bdf)^2 + (cde)^2] .
2) Ho spiegato – mi pare molto chiaramente – come si ricava la "mia" facikle formula!
Il clou è sapere come trovare il necessario "seno di un angolo diedro", cosa facile se si sa un pizzico di "trigonometria sferica" (che però ai miei tempi non si insegnava nelle nostre scuole anche se non è affatto più difficile della trigonometria piana, anzi è di questa una facilissima conseguenza). Non altrettanto facile è provare la bontà della formula che contiene il determinante di Cayley-Menger.
3) E' certamente facile anche ricordare quella matrice 6 x 6 di Cayley-Menger. Ma non è affatto sbrigativo farne il determinante in un esempio numerico (come invece è sbrigativo scrivere quel "mio" polinomio di cui poi fare la radice quadrata anche se è di 22 termini).

Ciao, ciao!
E scusa la mia "pignoleria" (che però ... quando ci vuole, ci vuole!)
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Ultima modifica di Erasmus il 31 lug 2018, 00:55, modificato 1 volta in totale.

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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da EvaristeG » 30 lug 2018, 22:49

Come ti pare. Saranno scemi tutti quelli che hanno sempre usato Cayley-Menger.

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Lasker
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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da Lasker » 31 lug 2018, 11:33

Ha un che di affascinante il necropostare di 12 anni e trovare chi aveva risposto ai tempi ancora vivo
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da EvaristeG » 31 lug 2018, 11:57

Io sono eterno.

Erasmus
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Re: Calcolo volume tetraedro irregolare

Messaggio da Erasmus » 31 lug 2018, 14:17

EvaristeG ha scritto:
30 lug 2018, 22:49
Saranno scemi tutti quelli che hanno sempre usato Cayley-Menger.
Se lo dici tu ... opinione tua! Io non l'ho detto (ma rispetto le opinioni altrui).
Io ho solo riportato una formula che, una volta tenuto conto di quali sono le coppie di spigoli opposti e quali sono le terne di lati delle facce, è davvero facile da ricordare (e molto più sbrigativa da usare). E su questo non ci piove!
EvaristeG ha scritto:
30 lug 2018, 22:49
[...] tutti quelli che hanno sempre usato Cayley-Menger.
Ma ... qaunti (e da quando) "hanno sempre usato Cayley-Menger"?
Prima di due giorni fa io 'sto Cayler-Menger non l'ho mai incontrato! [Ho fatto il biennio di Ingegeria a Padova – ai miei tempi con le lezioni di carattere matematico in comune con gli studenti di Matematica, di Fisica e di Matematica&Fisica – tra il 1955 e il 1957].
Leggo ora in rete che Karl Menger è morto nel 1985. Ho leggiucchiato su Wikipedia quali sono stati i contributi di Menger alla matematica moderna, venendo a sapere che Menger ha sviluppato una generale "Teoria delle distanze" (anche in spazi euclidei con un numero arbitrario di dimensioni).
Il determinante della matrice quadrata simmetrica 5 x 5 che dà il doppio del quadrato di 12 volte il volume del tetraedro non ne è che un piccolissimo dettaglio! Infatti il clou del particolare problema di trovare il volume di un tetraedro irregolare conoscendo le lunghezze dei suoi 6 spigoli sta proprio nel trovarela la distanza di un vertice dal piano della faccia opposta. Naturalmente quando è nato Menger (1902) questo particolare problema era già stato risolto da secoli!
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