numero di divisori primi di n dalla Germania
numero di divisori primi di n dalla Germania
Dato un intero positivo n, sia $ f(n) $ il numero di divisori primi diversi di n; ad esempio $ f(24)=2 $. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi per cui $ f(n)<f(n+1)<f(n+2) $
uff che problema infido...
diciamo che vogliamo trovare infiniti naturali a per cui $ n=2^a $ mi soddisfa la relazione nel testo.
pensiamo prima alla disuguaglianza di sinistra, e cerchiamo i casi che non ci vanno bene (mi pare fosse anche un vecchio cesenatico), ossia risolviamo $ 2^a+1=p^b $ con p primo.
trascuriamo il caso $ p=2 $, perché porta ad una singola soluzione particolare e quindi non ci disturba.
abbiamo $ 2^a=(p-1)(p^{b-1}+...+p+1) $ e dunque $ p-1=2^k $ per qualche k>0.
Se $ b>1 $, allora $ p^{b-1}+...+p+1>p-1 $, quindi anche $ p^{b-1}+...+p+1 $ è una potenza di 2 maggiore di 1
Ma chiaramente $ p^{b-1}+...+1\equiv b \pmod 2 $ ossia b è pari. Scriviamo b=2h e si ha che $ p^h-1,p^h+1 $ sono entrambe potenze di 2, quindi $ (a,b,p)=(3,2,3) $ che ancora una volta è una soluzione singola e non ci crea problemi.
Resta da analizzare il caso $ b=1 $. Ma è un fatto noto che se $ 2^a+1 $ è primo allora $ a $ è una potenza di 2.
In sostanza, possiamo star sicuri che se prendiamo $ a\neq 0,3 $ ed $ a $ non potenza di 2 abbiamo $ 1=f(p^a)<f(p^a+1) $.
Resta da sistemare la disuguaglianza di destra, dobbiamo cioè assicurarci che
$ f(2^a+1)<f(2^a+2)=f(2(2^{a-1}+1))=1+f(2^{a-1}+1) $
Dimostriamo che presi molti interi consecutivi, ce n'è almeno uno (diciamo y) tale che n=2^y soddisfi la relazione del testo.
Siano ora $ x_1,...,x_m $ m interi consecutivi ordinati in modo crescente.
Supponiamo per assurdo che $ f(2^{x_m}+1)>...> f(2^{x_1}+1)\geq 1 $
Allora $ f(2^{x_m}+1) \ge m $ da cui $ \displaystyle 2^{x_m}+1 \ge \prod_{i=1}^m p_i $ dove $ p_i $ rappresenta l'i-esimo primo.
Ma si vede abbastanza facilmente che l'ultima relazione è falsa per m molto grandi.
Dunque se prendo una sequenza abbastanza lunga di interi, ce ne sarà almeno uno che mi va bene. Inoltre, per quanto lunga sia questa sequenza, riesco sempre a fare in modo che non contenga potenze di 2; così facendo, trovo un $ a $ che mi soddisfa entrambe le disuguaglianze. Poiché chiaramente posso prendere infinite sequenze abbastanza lunghe, posso trovare anche infiniti $ a $ che mi vanno bene.
diciamo che vogliamo trovare infiniti naturali a per cui $ n=2^a $ mi soddisfa la relazione nel testo.
pensiamo prima alla disuguaglianza di sinistra, e cerchiamo i casi che non ci vanno bene (mi pare fosse anche un vecchio cesenatico), ossia risolviamo $ 2^a+1=p^b $ con p primo.
trascuriamo il caso $ p=2 $, perché porta ad una singola soluzione particolare e quindi non ci disturba.
abbiamo $ 2^a=(p-1)(p^{b-1}+...+p+1) $ e dunque $ p-1=2^k $ per qualche k>0.
Se $ b>1 $, allora $ p^{b-1}+...+p+1>p-1 $, quindi anche $ p^{b-1}+...+p+1 $ è una potenza di 2 maggiore di 1
Ma chiaramente $ p^{b-1}+...+1\equiv b \pmod 2 $ ossia b è pari. Scriviamo b=2h e si ha che $ p^h-1,p^h+1 $ sono entrambe potenze di 2, quindi $ (a,b,p)=(3,2,3) $ che ancora una volta è una soluzione singola e non ci crea problemi.
Resta da analizzare il caso $ b=1 $. Ma è un fatto noto che se $ 2^a+1 $ è primo allora $ a $ è una potenza di 2.
In sostanza, possiamo star sicuri che se prendiamo $ a\neq 0,3 $ ed $ a $ non potenza di 2 abbiamo $ 1=f(p^a)<f(p^a+1) $.
Resta da sistemare la disuguaglianza di destra, dobbiamo cioè assicurarci che
$ f(2^a+1)<f(2^a+2)=f(2(2^{a-1}+1))=1+f(2^{a-1}+1) $
Dimostriamo che presi molti interi consecutivi, ce n'è almeno uno (diciamo y) tale che n=2^y soddisfi la relazione del testo.
Siano ora $ x_1,...,x_m $ m interi consecutivi ordinati in modo crescente.
Supponiamo per assurdo che $ f(2^{x_m}+1)>...> f(2^{x_1}+1)\geq 1 $
Allora $ f(2^{x_m}+1) \ge m $ da cui $ \displaystyle 2^{x_m}+1 \ge \prod_{i=1}^m p_i $ dove $ p_i $ rappresenta l'i-esimo primo.
Ma si vede abbastanza facilmente che l'ultima relazione è falsa per m molto grandi.
Dunque se prendo una sequenza abbastanza lunga di interi, ce ne sarà almeno uno che mi va bene. Inoltre, per quanto lunga sia questa sequenza, riesco sempre a fare in modo che non contenga potenze di 2; così facendo, trovo un $ a $ che mi soddisfa entrambe le disuguaglianze. Poiché chiaramente posso prendere infinite sequenze abbastanza lunghe, posso trovare anche infiniti $ a $ che mi vanno bene.
Ultima modifica di what il 20 giu 2006, 23:00, modificato 1 volta in totale.
Mmmm mi piacerebbe risolverla in un altro modo... però non riesco a completarla: mi dite se è fattibile?
Posto x un numero primo, avrà sicuramente meno divisori di x+1.
x+1 è nella forma 2n, x+2 nella forma 2n+1
quindi $ f(x)<f(x+1) $
Ma poi non so continuare..
E' dimostrabile che 2n ha meno divisori di 2n+1, posto che 2n-1 è un numero primo? (e ovviamente 2n+1 non sia un suo gemello)
Potrebbe essere anche spunto di un altro problema
OT adoro i numeri primi =) /OT
Posto x un numero primo, avrà sicuramente meno divisori di x+1.
x+1 è nella forma 2n, x+2 nella forma 2n+1
quindi $ f(x)<f(x+1) $
Ma poi non so continuare..
E' dimostrabile che 2n ha meno divisori di 2n+1, posto che 2n-1 è un numero primo? (e ovviamente 2n+1 non sia un suo gemello)
Potrebbe essere anche spunto di un altro problema
OT adoro i numeri primi =) /OT
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]
Sia che fosse inteso come numero di "divisori" o come numero di "divisori primi": n=12, 2n=24 (2n-1=13) 2n+1=25 è un controesempio.Poeth ha scritto: E' dimostrabile che 2n ha meno divisori di 2n+1, posto che 2n-1 è un numero primo? (e ovviamente 2n+1 non sia un suo gemello)
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
What, bella soluzione , anch'io avevo seguito piu' o meno lo stesso percorso
Per quanto riguarda l'idea di dimostrare che 2n ha meno divisori di 2n+1 per infiniti n, con 2n-1 primo, sinceramente non saprei proprio da dove partire... non dico che sia impossibile ovviamente, pero' non sembra affatto facile.
Per quanto riguarda l'idea di dimostrare che 2n ha meno divisori di 2n+1 per infiniti n, con 2n-1 primo, sinceramente non saprei proprio da dove partire... non dico che sia impossibile ovviamente, pero' non sembra affatto facile.