Questione di identità....

[Simo_the_wolf]

Un po' di brutalità...

Dimostrare che:

$ \displaystyle \sum_{sym} a^4b^2 + 2a^3b^2c - a^3b^3 - a^4bc - a^2b^2c^2 \geq 0 $

[frengo]

che strana soluzione....

siano:

$ x_1=a^2b $
$ x_2=b^2c $
$ x_3=c^2a $
$ y_1=a^2c $
$ y_2=b^2a $
$ y_3=c^2b $

le somme diventano:

$ \sum\limits_{sym}a^4b^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2 $
$ \sum\limits_{sym}2a^3b^2c=2x_1x_2+2x_2x_3+2x_3x_1+2y_1y_2+2y_2y_3+2y_3y_1 $
$ \sum\limits_{sym}a^3b^3=2x_1y_2+2x_2y_3+2x_3y_1 $
$ \sum\limits_{sym}a^4bc=2x_1y_1+2x_2y_2+2x_3y_3 $
$ \sum\limits_{sym}a^2b^2c^2=2x_1y_3+2x_2y_1+2x_3y_2 $

$ \sum\limits_{sym}a^4b^2+\sum\limits_{sym}2a^3b^2c=(x_1+x_2+x_3)^2+(y_1+y_2+y_3)^2 $

$ \sum\limits_{sym}a^3b^3+\sum\limits_{sym}a^4bc+\sum\limits_{sym}a^2b^2c^2=2(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3) $


la disuguaglianza diventa:

$ (x_1+x_2+x_3)^2+(y_1+y_2+y_3)^2\geq 2(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3) $

$ (x_1+x_2+x_3-y_1-y_2-y_3)^2\geq 0 $

che è vera, per la più semplice delle disuguaglianze ($ x^2\geq0 $), e l'uguaglianza vale se
$ a^2b+b^2c+c^2a=a^2c+b^2a+c^2b $
$ (a-b)(b-c)(c-a)=0 $
quindi se due qualsiasi delle variabili sono uguali(che mi suggerisce anche qualche altro tipo di soluzione...).

ciao ciao

[Poeth]

Non ho capito :O

Ma se $ x_1=a^2b $

non è $ a^4b^2=x_1^2 $ ?

Probabilmente non ho capito il ruolo di questa sommatoria


Comunque io ho provato a porre

$ P = ba^2 $
$ Q = abc $
$ Z = ab^2 $

quindi si ha


$ a^4b^2 = P^2 $
$ 2a^3b^2c = 2PQ $
$ a^3b^3 = PZ $
$ a^4bc = \frac{QP^2}{Z} $
$ a^2b^2c^2 = Q^2 $

Quindi si ottiene
$ P^2+2PQ-PZ-\frac{QP^2}{Z}-Q^2 $


Ma ripeto, probabilmente non ho capito a che serve quella sommatoria

[EvaristeG]

La sommatoria serve a dire che devi fare una somma ... cosa devi sommare di solito è scritto sotto la sommatoria.
In particolare, quando c'è scritto sym vuol dire che devi prendere il pattern indicato (ad es $ a^4b^2 $) e sommarlo sostituendo a quelle indicate tutte le possibili variabili in tutti i possibili ordini :
$ \displaystyle{\sum_{\textrm{sym}}a^4b^2=a^4b^2+a^4c^2+b^4a^2+b^4c^2+c^4a^2+c^4b^2} $
poi ci sono alcune cose antipatiche del tipo $ \displaystyle{\sum_{\textrm{sym}}a^2=2(a^2+b^2+c^2) $ (se usiamo le tre variabili a,b,c); questo perchè sym vuol dire, più precisamente, fare questo : prendi quel che c'è a fianco la sommatoria (ad es il solito a^4b^2) e supponi che non sia scritto con a,b,c ma con $ x_1,x_2,x_3 $ ... quindi in questo caso $ x_1^4x_2^2 $; ora assegna in tutti i modi possibili le lettere a,b,c alle lettere x_1,x_2,x_3 :
x_1=a, x_2=b, x_3=c ==> $ x_1^4x_2^2=a^4b^2 $
x_1=a, x_2=c, x_3=b ==> $ x_1^4x_2^2=a^4b^2 $
e così via per tutti i 6 modi di associare alle x_1,x_2,x_3 le a,b,c; dopo di che sommi tutti questi risultati.
Se lo fai con $ x_1^2 $, le corrispondenze
x_1=a, x_2=b, x_3=c
x_1=a, x_2=c, x_3=b
portano entrambe a $ a^2 $ che quindi va sommato due volte.

[Poeth]

eheh allora rimangio tutto ciò che ho detto ^^

[Simo_the_wolf]

Il fatto stava proprio nell'osservare che se $ a=b $ allora c'è uguaglianza quindi si può tirare fuori $ (a-b)(b-c)(c-a) $ poichè è simmetrica e quindi poi si vede che si può tirare fuori altri $ (a-b)(b-c)(c-a) $ e infatti quella robaccia è (come già detto da frengo) uguale a:

$ [ (a-b)(b-c)(c-a) ] ^2 \geq 0 $