Disuguaglianza istruttiva II (the revenge)

[Boll]

Siano $ a, b, c $ numeri reali positivi tali che $ a + b + c = 1 $.
Dimostrare che $ $ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + c\sqrt{c} \ge \frac{{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^2}{3\sqrt{3}} $

[sqrt2]

1^SOLUZIONE

Per Chebycheff si ha
$ $ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + c\sqrt{c} \ge \frac{{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})} {(a + b + c)}}{3} = \frac{{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}}{3} $

Considerando QM >= AM si ha
$ $ \sqrt{\frac{a + b + c}{3}} \ge \frac{{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}}{3} $ da cui $ $ 1\ge \frac{{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}}{\sqrt3} $

Moltiplicando le due disuguaglianze ottenute si ha la tesi

2^SOLUZIONE
$ $ 3 \ge {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2} $
Infatti $ $ {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2} = a + b + c + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) $ e per la Disuguglianza di Riarrangiamento risulta
$ $ a+b+c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} $

Sostituendo nella tesi si ottiene $ $ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + c\sqrt{c} \ge \frac{1} {\sqrt3} $

Per AM >= GM si ha $ $ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + c\sqrt{c} \ge (abc)^{1/2} $.

Sempre da AM >= GM $ $ \frac{1} {3}= \frac{a + b + c} {3} \ge (abc)^{1/3} $.

Moltiplicando opportunamente queste ultime due disugugliuanze si verifica la tesi.

[sqrt2]

P.S. Mi scuso per non aver mai scritto su quali terne applicavo le disuguaglianze ma sono di fretta. Mi auguro si riescano a capire lo stesso le mie due dimostrazioni

[Ani-sama]

Vediamo un po' se può andare bene anche questa soluzione qua... vi prego di correggermi se ho scritto cazzate, non sono molto allenato nelle disuguaglianze...

Allora. Per cominciare, poniamo, per mera comodità:

$ $\sqrt a =x \Rightarrow a=x^2$ $
$ $\sqrt b =y \Rightarrow b=y^2$ $
$ $\sqrt c =z \Rightarrow c=z^2$ $

Dunque la condizione si riscrive come $ $x^2+y^2+z^2=1$ $

Riscrivo dunque la tesi:

$ $x^3+y^3+z^3 \geq \frac{{(x+y+z)}^2}{3\sqrt3}$ $

Adesso moltiplichiamo per $ $\frac{\sqrt3}{3}$ $ da ambo i membri, ottenendo:

$ $\frac{\sqrt3}{3}(x^3+y^3+z^3) \geq {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^2$ $

Adesso applichiamo la nota disuguaglianza $ $\mathrm{QM} \geq \mathrm{AM}$ $ per quanto riguarda il II membro. Ci basta dunque provare che:

$ $\frac{\sqrt3}{3}(x^3+y^3+z^3) \geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$ $

Ricordando la condizione e semplificando, otteniamo infine:

$ $x^3+y^3+z^3 \geq \frac{\sqrt3}{3}$ $

Ora passiamo ad applicare Jensen: la funzione $ $f(x)=\frac{1}{x}$ $ è convessa nei reali positivi. Abbiamo che:

$ $x^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{x}} + y^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{y}} + z^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{z}} \geq \frac{1}{x^2 \cdot \frac{1}{x} + y^2 \cdot \frac{1}{y} + z^2 \cdot \frac{1}{z}}$ $

che, è semplificata:

$ $x^3+y^3+z^3 \geq \frac{1}{x+y+z}$ $

Ora ci resta dunque da provare che:

$ $\frac{1}{x+y+z} \geq \frac{\sqrt3}{3}$ $

Moltiplichiamo ambo i membri per $ $(x+y+z)\frac{\sqrt3}{3}$ $ ottenendo:

$ $\frac{\sqrt3}{3} \geq \frac{x+y+z}{3}$ $

Eleviamo al quadrato!

$ $\frac{1}{3} \geq {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^2$ $

E adesso applichiamo ancora la nota disuguaglianza $ $\mathrm{QM} \geq \mathrm{AM}$ $ al II membro, ottenendo:

$ $\frac{1}{3} \geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$ $

Ma, ricordando la condizione posta, questa disuguaglianza è pari a:

$ $\frac{1}{3} \geq \frac{1}{3}$ $

che è ovviamente verificata. Tutti i passaggi sono invertibili, la tesi risulta dimostrata.


EDIT: il Bollazzo dice - forse a ragione - che la mia soluzione è bruttissima da leggere, e mi ha suggerito un modo per scriverla meglio... di seguito:

Mi propongo di dimostrare la seguente catena di disuguaglianze: dimostrandole tutte, la tesi risulta provata. (ah, vale la sostituzione di variabile che ho fatto nella mia dimostrazione qua sopra)

$ $x^3+y^3+z^3 \geq \frac{1}{x+y+z} \geq \frac{\sqrt3}{3} \geq \frac{{(x+y+z)}^2}{3\sqrt3}$ $

La prima disuguaglianza segue da Jensen; prendendo la funzione $ $f(x)=\frac{1}{x}$ $, convessa nei reali positivi:

$ $x^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{x}} + y^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{y}} + z^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{z}} \geq \frac{1}{x^2 \cdot \frac{1}{x} + y^2 \cdot \frac{1}{y} + z^2 \cdot \frac{1}{z}}$ $

ossia

$ $x^3+y^3+z^3 \geq \frac{1}{x+y+z}$ $

Proprio quel che volevamo.


Per quanto riguarda la II disuguaglianza...

Per $ $\mathrm{QM} \geq \mathrm{AM}$ $ abbiamo:

$ $\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \geq {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^2$ $

Ricordando la condizione, possiamo scrivere:

$ $\frac{1}{3} \geq {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^2$ $

Ora estraiamo la radice quadrata:

$ $\frac{\sqrt3}{3} \geq \frac{x+y+z}{3}$ $

A questo punto moltiplichiamo ambo i termini per $ $\frac{3}{\sqrt3(x+y+z)}$ $ ottenendo

$ $\frac{1}{x+y+z} \geq \frac{\sqrt3}{3}$ $

Proprio quello che volevamo.


Per quanto riguarda la III disuguaglianza della catena, abbiamo, come sopra per $ $\mathrm{QM} \geq \mathrm{AM}$ $:

$ $\frac{1}{3} \geq {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^2$ $

Ora moltiplichiamo ambo i termini per $ $\frac{\sqrt3}{3}$ $, ottenendo

$ $\frac{\sqrt3}{3} \geq \frac{{(x+y+z)}^2}{3\sqrt3}$ $

Proprio quello che volevamo.

La tesi risulta infine provata.

[HomoPatavinus]

Per AM >= GM si ha .

Sempre da AM >= GM .

Moltiplicando opportunamente queste ultime due disugugliuanze si verifica la tesi.

non ho capito questo passaggio

[edriv]

Forse sbaglio, ma viene anche a me:
Passo 1
Essendo $ f(x)=x^{\frac 32} $ convessa, abbiamo che:
$ a\sqrt a + b \sqrt b + c \sqrt c = a^{\frac 32} + b^{\frac 32} + c^{\frac 32} \ge 3 \left ( \frac{a+b+c} 3 \right ) ^{\frac 32}=\frac 1 {\sqrt 3} $
Per Jensen.

Passo 2
Essendo $ f(x)=\sqrt x $ concava, abbiamo che:
$ \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \le 3 \sqrt{\frac{a+b+c} 3} = \frac 3 {\sqrt 3} $
Per Jensen.
Elevando al quadrato e moltiplicando:
$ \frac{(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2} {3 \sqrt 3} \le \frac 1 {\sqrt 3} $

Mettendo insieme le due disuguaglianze, si ottiene la tesi.