Funzionale sui naturali

[what]

Trovare tutte le funzioni f: N -> N tali che

$ \displaystyle f(m+f(n))=n+f(m+100) $

per ogni m,n naturali.
[fonte: preimo 02]

[mattilgale]

qualcuno me lo controlli perché ci ho lavorato su un bel po' ma non sono sicuro...
allora

1) se m=0, f(f(n))=n+f(100) quindi f è iniettiva e può assumere qualsiasi valore >=f(100)=a

2) se n=0, f(m+f(0))=f(m+100) quindi f(0)=100

3) f(f(m+f(n)))=f(n+f(m+100))=
m+f(n)+a = m+100+f(n+100)
(per 1) ----- (per ipotesi)

quindi f(n+100)-f(n)=a-100 (quindi a>100, altrimenti si hanno infiniti interi tra o e f(n). )


supponiamo adesso $ a< 200 $ cioè $ a-100< 100 $

consideriamo la sequenza f(n); f(n+100); f(n+200) ... che è una progressione aritmetica... osserviamo adesso che gli interi della sequenza sono tutti congrui modulo (a-100),

ovviamente 0<=n<=99 poiché altrimenti si hanno casi già visti, tra i 100 interi tra 0 e 99 però devono esistere due interi m ed n tali che
$ f(m)\equiv f(n) \ (\mod{ a-100}) $per il pigeonhole poiché
$ 1\leq a-100<100 $

ma questo è assurdo poiché se così fosse esisterebbero due interi diversi m+100k ed n+100t con k e t naturali tali che $ f(m+100k)=f(n+100t) $

supponiamo adesso $ a>200 $ cioè $ a-100 >100 $

in tal caso per un ragionamento analogo al precedente esisterebbe almeno un b naturale tale che non esiste nessun n t.c. $ f(n)\equiv b\ (\mod{a-100}) $ e questo è assurdo poiché la funzione assume tutti i valori maggiori o uguali ad a.

quindi a=200

perciò

3bis) f(m+100)=f(m)+100 per la 3

quindi

$ f(f(m+f(m)))=f(m+f(m+100)) $

implica

$ m+f(m)+a=m+f(m)+200 $$ =f(m+f(m+100))=f(m+f(m)+100) $

pertanto

$ f(k)=k+100 $ con k=m+f(m)+100

e sfruttando la 3bis

$ f(n)=n+100\ \ \forall n\in \mathbb{N} $

[mattilgale]

c'è un errore... non è detto che k=m+f(m)+100 possa assumere qualsiasi valore oltre una certa soglia... (infatti nel mio caso èp sempre pari)... quindi la dim cade...
vi farò presto sapere... mi sembrava triviale dopo aver dimostrato che a=200 ma non è così

[what]

direi che funziona...

solo non capisco come concludi:

$ f(k)=k+100 $ con k=m+f(m)+100

e sfruttando la 3bis

$ f(n)=n+100\ \ \forall n\in \mathbb{N} $

sfruttando la 3bis ottieni

$ f(f(m)+m)=f(m)+m+100 $

per ogni naturale m.

Come arrivi a dire che
$ f(n)=n+100 $ per ogni n?

[Boll]

Matti, ora non ho molta voglia di leggere tutto, ma tu affermi che funziona solo per $ f(n)=n+100 $ ???

[Boll]

EDIT: Cancellato tutto perchè Evariste ha ragione; le funzionali proprio non le so fare...

[Simo_the_wolf]

Strada un po' da brute force...

Dopo aver visto che $ f(f(n))=n+200 $ e $ f(n+100)=f(n)+100 $ sostituiamo $ f(n) $ a $ n $ all'inizio e otteniamo:

$ f(m+f(f(n)))=f(n) + f(m+100) $
$ f(m+n+200)=f(n)+f(m) + 100 $
$ f(m+n)-100= f(n) - 100 + f(m) - 100 $

chaimando $ g(n)=f(n)-100 $ abbiamo che:

$ g(m+n)=g(m)+g(n) $ per ogni $ m,n $ naturale. Ma allora (questa è una funzione di cauchy) abbiamo che $ g(n)=an $ per ogni $ n $.

Sostituendo alla funzione iniziale otteniamo:

$ f(m+f(n))=n + f(m+100) $
$ am+a^2n+200 = n + am + 100a + 100 $

e quindi $ a=1 $.

Ergo $ f(n)=100+n $ per ogni $ n $.

[EvaristeG]

Boll ... come fai a dire che la funzione che cerchi è l'inversa di una funzione lineare?
La formula che tu trovi è del tipo :$ f(n)=f^{-1}(n+a) $ e non $ f(n)=l^{-1}(n) $ con l funzione lineare ...

[what]

simo, ho un dubbio:
la tua soluzione è identica alla mia, solo che non sono convinto di una cosa.
è sempre lecita la sostituzione $ n\rightarrow f(n) $ o vale solo per $ n\geq 200 $?
e in caso non valga sempre che tipo di problemi mi crea?
gracias

[Simo_the_wolf]

attenzione! Io praticamente pongo $ n=f(x) $ (lo posso fare perchè $ f(x) $ è un num naturale) dove x è un num naturale qualunque e $ y=m $ dove y è un num naturale qualunque e alla fine ottengo $ g(x+y)=g(x)+g(y) $ dove $ x,y $ sono naturali qualunque. Ok?

[mattilgale]

simo non sono sicuro...
f(x) è sicuramente maggiore o uguale a 200, non è detto che sia un qualsiasi naturale...

comunque torna lo stesso perché dimostrato per n>=200 viene per tutti gli n usando la 3bis all'indietro...

bella soluzione...


rilancio con la seguente

$ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $

$ f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x) $
per ogni x,y reali...

anche qui mi manca più poco
preimo03