Kurschak 1966/2

[lozio]

Ho trovato questo problema che non sono riuscito a risolvere:
Provare che sono identiche le prime n cifre decimali ( dopo la virgola ) di
(5+sqrt(26)^n con n numero naturale.
Qualche idea?
Grazie
lo zio

[Spider]

Giusto un'idea:

Prova a vedere anche (5 - sqrt(26))^n

[lozio]

Giusto un'idea:

Prova a vedere anche (5 - sqrt(26))^n

Ho preso in considerazione (5-sqrt(26))^n e ho ovviamente notato che,essendo 5-sqrt(26) negativo, per n pari la potenza è positiva altrimenti è negativa.
Così per es. :
(5+sqrt(26))^3=515+101*sqrt(26)=1030,00097..
(5-sqrt(26))^3=515-101*sqrt(26)=-0,00097087287..
(5+sqrt(26))^4=5201+1020*sqrt(26)=10401,9999..
(5-sqrt(26))^4=5201-1020*sqrt(26)=0.00009613535..
La somma delle due potenze è chiaramente un numero intero.
Oltre non vado.
Puoi concludere tu?
Ti ringrazio
lo zio

[HumanTorch]

allora, in questo caso il problema è il $ \sqrt{26}, $che compare negli addendi in cui è elevato a un esponente dispari: 26 dista poco da un quadrato perfetto, si vede anche che $ a+\sqrt{b}, $e $ a-\sqrt{b} $ (il coniugato in $ \mathbb{Z}[\sqrt{b}]), $o il suo opposto, ci danno risultati particolari moltiplicandoli fra loro, o addizionandoli: in questo caso il loro prodotto è uno (sono reciproci) e $ {(\sqrt{26}-5)}^n $ è sempre più piccolo, quindi sottraendolo a $ (5+\sqrt{26}) $ le sue prime cifre decimali non cambiano(il che ci è garantito dall'irrazionalità di $ \sqrt{26}), $e otteniamo solo un intero: $ {(\sqrt{26}-5)}^n $ e la parte frazionaria di $ {(\sqrt{26}-5)}^n $ sono uguali, ma $ \sqrt{26}-5<\frac{1}{10} $ (immediato), quindi $ {\sqrt{26}-5)}^n<10^{-n}, $da cui, essendo le prime n cifre di $ {(\sqrt{26}-5)}^n $ pari a 0, anche le corrispondenti di $ {(\sqrt{26}+5)}^n $ lo saranno