Apparentemente non elementare

[Boll]

Assicuro l'elementarità di questo esercizio, conoscendo le definizioni degli aggeggi da utilizzare

Dimostare che scambiando due righe o due colonne in una matrice quadrata $ A $, ottentendo una matrice quadrata $ B $, avremo $ |A|=-|B| $

[enomis_costa88]

Sia considerata una matrice quadrata $ n*n $ .

sia $ m $ una qualsiasi permutazione di {1,...n}
m = { $ m_1,...m_n $}
m può essere o pari o dispari (a seconda del numero di trasposizioni in cui essa può essere scomposta) .
Alla permutazione $ m $ faccio corrispondere una stringa $ K =(a_1,..a_n) $ come segue:
$ a_i= $ il numero contenuto nella i-esima colonna e nella m_i-esima riga della matrice.

Ipotizzo di scambiare due colonne della matrice (la i-esima e la j-esima).
Per individuare nuovamente la stessa stringa di prima $ K $ non devo più usare la permutazione $ m $ (mi darebbe una stringa diversa) ma $ m $ composto con la trasposizione che scambia $ m_i $ con $ m_j $.
Questa nuova permutazione è di parità opposta rispetto ad $ m $.

Ipotizzo di scambiare due righe della matrice (la i-esima e la j-esima).
Essendo la permutazione una funzione bigettiva esistono $ m_a=i $ e $ m_b=j $.
Per individuare nuovamente la stessa stringa di prima $ K $ non devo più usare la permutazione $ m $ (mi darebbe una stringa diversa) ma $ m $ composto con la trasposizione che scambia $ m_a $ con $ m_b $.
Questa nuova permutazione è di parità opposta rispetto ad $ m $.

E' importante notare che qualsiasi stringa K individuabile con il procedimento sopra descritto partendo dalla matrice A e considerando la permutazione m sia individuabile anche partendo dalla matrice B ma considerando una permutazione di parità opposta rispetto a m.

Quindi per la definizione di determinante |B| è la somma degli stessi n! termini di |A| ma ciascuno cambiato di segno (sia che siano scambiate due colonne sia che siano scambiate due righe). Ovvero |A|=-|B|

PS: Boll sicuro sia algebra? Mi pare sana combinatoria