Trovare tutti gli n naturali che soddisfano:
$ 3^n-1=x^3 $
3^n - 1
Mi sembra sia stato già discusso da qualche altra parte, cmq..
$ 3^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $
Il massimo comun divisore di due numeri divide una qualsiasi combinazione lineare dei due quindi
$ (x+1,x^2-x+1)|(x^2-x+1-(x-2)(x+1))=3 $
quindi $ (x+1,x^2-x+1)=1 \lor 3 $
Sono 4 casi
caso i)
$ x+1=3^n $
$ x^2-x+1=1 $
che ha come soluzioni $ x=0 \quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile
caso ii)
$ x+1=1 $
$ x^2-x+1=3^n $
$ x=0 $ che è soluzione
caso iii)
$ x+1=3 $
$ x^2-x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x=2 $ che è soluzione
caso iv)
$ x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x^2-x+1=3 $
che ha come soluzione $ x=2\quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile
Riassumendo le coppie $ (n,x) $ che verificano sono $ (0,0),(2,2) $
$ 3^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $
Il massimo comun divisore di due numeri divide una qualsiasi combinazione lineare dei due quindi
$ (x+1,x^2-x+1)|(x^2-x+1-(x-2)(x+1))=3 $
quindi $ (x+1,x^2-x+1)=1 \lor 3 $
Sono 4 casi
caso i)
$ x+1=3^n $
$ x^2-x+1=1 $
che ha come soluzioni $ x=0 \quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile
caso ii)
$ x+1=1 $
$ x^2-x+1=3^n $
$ x=0 $ che è soluzione
caso iii)
$ x+1=3 $
$ x^2-x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x=2 $ che è soluzione
caso iv)
$ x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x^2-x+1=3 $
che ha come soluzione $ x=2\quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile
Riassumendo le coppie $ (n,x) $ che verificano sono $ (0,0),(2,2) $
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Non vi sbagliate, avevo chiesto chiarimenti sulla soluzione qui:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5179
e poi è cesenatico 1999.
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5179
e poi è cesenatico 1999.
