Trovare tutte le funzioni $ \mathbb{R}\backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ \displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1+\frac{1}{x(1-x)} $
Io ho una soluzione ma è piuttosto bruttina... volevo sentire voi!
Buon divertimento!
Bellissima funzionale
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Bellissima funzionale
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Per ogni $ k\in\mathbb{R}-\{0,1\} $ consideriamo la terna $ \displaystyle(k,\frac{1}{1-k},\frac{k-1}{k})\displaystyle $ e sostituiamo nell'equazione funzionale i tre membri di tale terna, ottenendo il sistema
$ \displaystyle f(k)+f(\frac{1}{1-k})=\frac{k^2-k-1}{k^2-k}\displaystyle $
$ \displaystyle f(\frac{1}{1-k})+f(\frac{k-1}{k})=-\frac{k^2-3k+1}{k}\displaystyle $
$ \displaystyle f(\frac{k-1}{k})+f(k)=\frac{1}{k-1}+k+2\displaystyle $.
Risolvendo il sistema,troviamo che $ \displaystyle f(k)=\frac{k^2+1}{k}\displaystyle $.
Quindi l'unica soluzione all'equazione funzionale è $ \displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\displaystyle $.
$ \displaystyle f(k)+f(\frac{1}{1-k})=\frac{k^2-k-1}{k^2-k}\displaystyle $
$ \displaystyle f(\frac{1}{1-k})+f(\frac{k-1}{k})=-\frac{k^2-3k+1}{k}\displaystyle $
$ \displaystyle f(\frac{k-1}{k})+f(k)=\frac{1}{k-1}+k+2\displaystyle $.
Risolvendo il sistema,troviamo che $ \displaystyle f(k)=\frac{k^2+1}{k}\displaystyle $.
Quindi l'unica soluzione all'equazione funzionale è $ \displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\displaystyle $.
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