Probabilità di disguido postale...

[darkcrystal]

Premetto che non so se esistano metodi olimpici...
Comunque, il problema: qual è la probabilità, date n buste ed n lettere "in corrispondenza biunivoca", che mettendo a caso le lettere nelle buste esattamente k, con k intero fissato $ 0 \leq k \leq n $ vadano al loro posto?

[teppic]

So che il numero medio di lettere azzeccate è 1 (anche se sembra semplice ed è abbastanza intuitivo non è un risultato elementare).

La probabilità che chiedi si può ottenere (ma rimane comunque una sommatoria) a partire dal numero di permutazioni senza punti fissi di un insieme. Non conosco e non penso che esistano formule sintetiche, anche se magari ci sono altri risultati interessanti in proposito.

[piever]

Esamino le risposte sbagliate. Le possibilità che le risposte sbagliate siano m sono (considerando x il numero di combinazioni, dato un insieme ordinato contenente m oggetti, in cui nessun oggetto ha la posizione orginale) $ {\frac{x}{m!(n-m)!} $
Il problema è determinare x. Non ho scritto come si ricava perché non ci sono arrivato , spero che qualcuno sappia farlo.

[piever]

Un modo per calcolare x è questo:
se m=1 allora x=0. Quindi se m=2 allora $ x=2!-{\frac{0(2!)}{1!(2-1)!}-1=1 $. Se m=3 allora $ x=3!-{\frac{0(3!)}{1!(3-1)!}-{\frac{1(3!)}{2!(3-2)!}-1=2 $. Se m=4 allora $ x=4!-{\frac{0(4!)}{1!(4-1)!}-{\frac{1(4!)}{2!(4-2)!}-{\frac{2(4!)}{3!(4-3)!}-1=9 $