Problemino

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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febiz2004
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Problemino

Messaggio da febiz2004 » 27 mar 2006, 20:18

Sia $ N $ un intero positivo tale che $ N $ abbia un resto di 2 o di 4 quando viene diviso da 6 ed esistano due interi $ x $ ed $ y $ tali che $ N=x^2+27y^2 $. Dimostrare che esistono due interi $ a $ e $ b $ con $ N=a^2+3b^2 $ dove $ b $ è un intero non divisibile per 3.

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 27 mar 2006, 22:28

La prima cosa che mi viene in mente è che $ N \equiv 4 (\mod 6) $, perchè
$ N \equiv x^2 (\mod 3) $, ma poichè $ n \neq 0 (\mod 3) $ per ipotesi, e i quadrati sono congrui a 0 (impossibile) o a 1 modulo 3, $ N \equiv 1 (\mod 3) $
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Messaggio da Simo_the_wolf » 02 apr 2006, 14:10

Ok, visto che nessuno risponde...

Sappiamo che $ N $ è pari e quindi $ x $ e $ y $ devono avere la stessa parità.

Il problema si risolve ponendo:

$ 2a=x \pm 9y $ e $ 2b=x \mp 3y $

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